Euler's Eyes
2026-10-12
Capítulo 16 — Polígonos regulares
Capítulo 16 · Neste capítulo você vai
Polígonos regulares
- reconhecer polígonos regulares e provar que são inscritíveis e circunscritíveis;
- identificar centro, apótema e ângulo cêntrico;
- calcular lado e apótema do quadrado, do hexágono e do triângulo equilátero em função do raio;
- obter o lado do decágono e do pentágono regulares e reconhecer o segmento áureo.
Porcas sextavadas, favos de mel, a placa de PARE, as engrenagens de um relógio: os polígonos regulares estão onde é preciso repetir a mesma peça ao redor de um centro. Neste capítulo, provamos que todo polígono regular cabe exatamente entre duas circunferências de mesmo centro e calculamos seus lados e apótemas a partir do raio — cálculos que, há quase dois mil anos, serviram para montar as primeiras tabelas trigonométricas.
I. Conceitos e propriedades
Dividir uma circunferência em partes iguais produz um polígono regular. A recíproca também vale: todo polígono regular tem uma circunferência que passa por todos os vértices e outra que toca todos os lados.
Quem descobriu
Inscrever e circunscrever polígonos regulares é o assunto do livro IV dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): ele constrói com régua e compasso o triângulo equilátero, o quadrado, o pentágono (proposição IV.11), o hexágono (IV.15) e o polígono de 15 lados (IV.16). Por dois mil anos ninguém foi além disso, até que Carl Friedrich Gauss, em 1796, construiu o polígono regular de 17 lados e, em 1801, mostrou quais polígonos regulares podem ser construídos; em 1837, Pierre Wantzel provou que os outros são impossíveis.
A história
O resultado de Gauss e Wantzel diz que um polígono regular de $n$ lados pode ser construído com régua e compasso exatamente quando $n$ é uma potência de 2 multiplicada por primos de Fermat distintos — primos da forma $2^{2^k} + 1$, como 3, 5, 17, 257 e 65 537. Por isso o heptágono (7 lados) e o eneágono (9 lados) não podem ser construídos, mas o polígono de 257 lados pode: em 1832, Friedrich Richelot publicou a sua construção.
Os polígonos regulares também foram o caminho de Arquimedes até o número π: inscrevendo e circunscrevendo polígonos de 6, 12, 24, 48 e 96 lados numa circunferência, ele obteve $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$.
No dia a dia
- Porcas e parafusos. A cabeça sextavada permite usar a chave em seis posições; a distância entre faces opostas é o dobro do apótema.
- Placa de PARE. O octógono regular é reconhecido pelo formato mesmo quando a placa está coberta de neve ou vista de costas.
- Engrenagens e rodas dentadas. Os dentes são distribuídos como os vértices de um polígono regular inscrito.
- Mosaicos e pisos. Triângulos, quadrados e hexágonos regulares cobrem o plano sem frestas porque seus ângulos internos dividem 360°.
Fontes: Elementos, livro IV (D. Joyce) · Gauss (MacTutor) · Wantzel (MacTutor).
Teoria e construções
Definição
DefiniçãoPolígono regular
Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes. Assim, o triângulo equilátero é o triângulo regular e o quadrado é o quadrilátero regular.
Um polígono regular é equilátero e equiângulo.
Propriedades
TeoremaDivisão da circunferência em arcos congruentes
Dividindo-se uma circunferência em $n$ ($n \geq 3$) arcos congruentes:
a) as cordas determinadas por dois pontos de divisão consecutivos formam um polígono regular de $n$ lados inscrito na circunferência;
b) as tangentes traçadas pelos pontos de divisão determinam um polígono regular de $n$ lados circunscrito à circunferência.
Ver a demonstração
a) Sejam $A, B, C, D, \ldots, M, N$ os $n$ pontos de divisão da circunferência $\lambda$. O polígono $ABCD\ldots MN$ tem $n$ lados e está inscrito, pois todos os vértices pertencem a $\lambda$. Como os arcos $\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}, \ldots, \overset{\frown}{NA}$ são congruentes, as cordas também são: $AB = BC = CD = \ldots = NA$ (1). Os ângulos $\hat A, \hat B, \ldots, \hat N$ são congruentes (2), pois cada um é ângulo inscrito que mede metade da soma de $n - 2$ dos arcos congruentes. No pentágono, por exemplo, $\hat A = \dfrac{\overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} + \overset{\frown}{DE}}{2}$. De (1) e (2), o polígono é regular.
b) Pelos pontos de divisão conduzimos tangentes e obtemos o polígono $A'B'C'\ldots N'$ circunscrito a $\lambda$. Os triângulos $A'AB$, $B'BC$, …, $N'NA$ são isósceles (seus ângulos da base são ângulos de segmento que medem metade de um dos arcos congruentes) e congruentes entre si pelo caso ALA, pois as bases $AB, BC, \ldots$ são lados do polígono regular da parte a). Daí $\hat A' = \hat B' = \ldots = \hat N'$ (1) e, por soma conveniente, $A'B' = B'C' = \ldots = N'A'$ (2). De (1) e (2), o polígono circunscrito é regular.
TeoremaPolígono regular é inscritível
Todo polígono regular é inscritível numa circunferência; isto é, dado um polígono regular, existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices.
Ver a demonstração
Seja $ABCD\ldots MN$ o polígono regular (pense no pentágono $ABCDE$). Pelos pontos $A$, $B$ e $C$ tracemos a circunferência $\lambda$ de centro $O$. Os triângulos $OBA$ e $OCD$ são congruentes pelo caso LAL: $AB = CD$ (lados do polígono), $OB = OC$ (raios) e $O\hat BA = O\hat CD$ (diferença entre os ângulos congruentes $\hat B$ e $\hat C$ do polígono e os ângulos da base do triângulo isósceles $BOC$). Logo $OA = OD$ e $D \in \lambda$. De modo análogo, $E \in \lambda$, …, $N \in \lambda$. A unicidade vem da unicidade da circunferência que passa por $A$, $B$ e $C$.
TeoremaPolígono regular é circunscritível
Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência; isto é, dado um polígono regular, existe uma única circunferência inscrita no polígono.
Ver a demonstração
Pelo teorema anterior, o polígono está inscrito numa circunferência $\lambda$ de centro $O$. Os lados são cordas congruentes de $\lambda$, por isso distam igualmente de $O$: sendo $A', B', C', \ldots$ os pontos médios dos lados, $OA' = OB' = OC' = \ldots$. Então $O$ é centro de uma circunferência $\lambda'$ que passa por $A', B', C', \ldots$; como $\overline{OA'} \perp \overline{AB}$, $\overline{OB'} \perp \overline{BC}$, …, os lados são tangentes a $\lambda'$. Se existisse outra circunferência inscrita, ela passaria por $A', B', C', \ldots$ e coincidiria com $\lambda'$.
AtençãoNota
As duas últimas propriedades são recíprocas da primeira. As circunferências inscrita e circunscrita a um polígono regular são concêntricas.
Elementos notáveis
DefiniçãoCentro, apótema e ângulo cêntrico
- Centro de um polígono regular é o centro comum das circunferências circunscrita e inscrita.
- Apótema é o segmento com uma extremidade no centro e a outra no ponto médio de um lado. O apótema é o raio da circunferência inscrita.
- Ângulo cêntrico é o ângulo com vértice no centro e lados passando por dois vértices consecutivos. Todos são congruentes e medem
PropriedadeDiagonais pelo centro
Se um polígono regular tem um número par de lados, ele possui diagonais passando pelo centro: as que unem vértices opostos. Se tem um número ímpar de lados, nenhuma diagonal passa pelo centro.
II. Cálculo de lado e apótema
Com o raio da circunferência circunscrita, calculam-se o lado $\ell_n$ e o apótema $a_n$ de qualquer polígono regular. Os casos do decágono e do pentágono revelam o segmento áureo.
Quem descobriu
Os cálculos deste tópico estão no livro XIII dos Elementos de Euclides. A proposição XIII.9 mostra que o lado do decágono regular é o segmento maior da divisão do raio em média e extrema razão — o nosso segmento áureo, definido no livro VI —, e a XIII.10 prova que o quadrado do lado do pentágono é igual à soma dos quadrados dos lados do hexágono e do decágono inscritos na mesma circunferência. Cláudio Ptolomeu (século II) usou exatamente esses resultados para calcular as primeiras cordas da sua tabela trigonométrica.
A história
A expressão “divina proporção” é do frade italiano Luca Pacioli, que publicou em 1509 o livro De divina proportione, ilustrado por Leonardo da Vinci; o nome “secção áurea” foi popularizado no século XIX, pelo alemão Martin Ohm. A razão áurea, $\dfrac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1{,}618$, aparece também na sequência de Fibonacci: a razão entre dois termos consecutivos se aproxima dela.
Muitas afirmações populares sobre a razão áurea em quadros, templos e no corpo humano são exageradas ou falsas. Mas no pentágono regular ela é real: a razão entre a diagonal e o lado é exatamente $\dfrac{1 + \sqrt5}{2}$.
No dia a dia
- Estrelas de cinco pontas. As estrelas da bandeira do Brasil e de muitas outras são traçadas a partir das diagonais de um pentágono regular.
- Bola de futebol. A bola clássica é costurada com 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares.
- Engenharia. O lado de um polígono regular inscrito num círculo de raio conhecido dá o tamanho das peças de uma estrutura circular, como uma cúpula ou uma roda-gigante.
- Desenho técnico. Para desenhar uma porca sextavada a partir do diâmetro, usa-se $\ell_6 = R$: o lado do hexágono é igual ao raio.
Fontes: Elementos, proposição XIII.9 · Elementos, proposição XIII.10 · Pacioli (MacTutor) · Razão áurea (MacTutor).
Teoria e construções
Indicaremos por $\ell_n$ o lado e por $a_n$ o apótema do polígono regular de $n$ lados inscrito numa circunferência de raio $R$.
Quadrado, hexágono e triângulo equilátero
ResumoLado e apótema em função do raio
| Polígono | Lado $\ell_n$ | Apótema $a_n$ |
|---|---|---|
| Quadrado | $\ell_4 = R\sqrt{2}$ | $a_4 = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$ |
| Hexágono | $\ell_6 = R$ | $a_6 = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$ |
| Triângulo equilátero | $\ell_3 = R\sqrt{3}$ | $a_3 = \dfrac{R}{2}$ |
Ver as deduções (problemas 1, 2 e 3)
Quadrado. No triângulo retângulo $AOB$, com $OA = OB = R$: $\ell_4^2 = R^2 + R^2$, logo $\ell_4 = R\sqrt{2}$. O apótema é metade do lado: $a_4 = \dfrac{\ell_4}{2} = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$.
Hexágono. O ângulo cêntrico mede 60°, e o triângulo $AOB$ é isósceles com ângulo de 60° no vértice: é equilátero. Logo $\ell_6 = R$, e o apótema é a altura do triângulo equilátero de lado $R$: $a_6 = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.
Triângulo equilátero. Sendo $BC = \ell_3$ e $\overline{AD}$ um diâmetro, temos $CD = \ell_6 = R$. O triângulo $ACD$ é retângulo em $C$: $\ell_3^2 = (2R)^2 - R^2 = 3R^2$, logo $\ell_3 = R\sqrt{3}$. Como $O$ é o baricentro do triângulo $ABC$, $2a_3 = R$ e $a_3 = \dfrac{R}{2}$.
Decágono regular e segmento áureo
PropriedadeLado do decágono regular
$$\ell_{10} = \frac{R}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right).$$Ver a dedução (problema 4)
No triângulo isósceles $AOB$, com $\hat O = 36°$ e $\hat A = \hat B = 72°$, traçamos a bissetriz $\overline{BC}$ de $\hat B$. O triângulo $BAC$ é isósceles ($\hat A = \hat C = 72°$), logo $BC = \ell_{10}$; o triângulo $COB$ é isósceles ($\hat O = \hat B = 36°$), logo $OC = \ell_{10}$. Então $CA = R - \ell_{10}$. Pelo teorema da bissetriz interna no triângulo $AOB$:
$$\frac{R}{\ell_{10}} = \frac{\ell_{10}}{R - \ell_{10}} \;\Rightarrow\; \ell_{10}^2 + R\,\ell_{10} - R^2 = 0 \;\Rightarrow\; \ell_{10} = \frac{-R \pm R\sqrt{5}}{2}.$$Desprezando a solução negativa: $\ell_{10} = \dfrac{R}{2}(\sqrt{5} - 1)$.
DefiniçãoSegmento áureo
$x$ é a medida do segmento áureo de um segmento de medida $a$ se, e somente se,
$$\frac{a}{x} = \frac{x}{a - x}.$$A razão $\dfrac{x}{a}$ é dita áurea. Da proporção, $x^2 + ax - a^2 = 0$, e daí $x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\,a$. Pela dedução anterior, o lado do decágono regular é o segmento áureo do raio.
Pentágono regular
TeoremaLado do pentágono regular
O lado do pentágono regular é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são os lados do hexágono e do decágono regulares inscritos na mesma circunferência: $\ell_5^2 = \ell_6^2 + \ell_{10}^2$. Daí
$$\ell_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}.$$Ver a demonstração (problema 5)
Seja $AB = \ell_{10}$ e, na reta $AB$, um ponto $C$ tal que $AC = R$. Na circunferência de centro $A$ e raio $R$, o ângulo central de 72° faz corresponder $OC = \ell_5$ (pois $72° = \tfrac{1}{5}\cdot 360°$). Conduzindo por $C$ a tangente $\overline{CD}$ à circunferência $\lambda$ de centro $O$ e raio $R$, a potência de $C$ em relação a $\lambda$ dá
$$(CD)^2 = (CA)\cdot(CB) = R\,(R - \ell_{10}) = \ell_{10}^2 \;\Rightarrow\; CD = \ell_{10}$$(usando a proporção áurea da dedução anterior). No triângulo $ODC$, retângulo em $D$: $OC = \ell_5$ (hipotenusa), $CD = \ell_{10}$ e $OD = R = \ell_6$ (catetos). Pelo teorema de Pitágoras:
$$\ell_5^2 = R^2 + \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}R\right)^2 = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{4}R^2 \;\Rightarrow\; \ell_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}.$$Fórmula geral do apótema e lado do polígono de $2n$ lados
PropriedadeApótema em função de R e do lado
No triângulo $AMO$, retângulo em $M$ (ponto médio do lado):
$$a_n^2 = R^2 - \frac{\ell_n^2}{4} \;\Rightarrow\; a_n = \frac{1}{2}\sqrt{4R^2 - \ell_n^2}.$$Substituindo $\ell_{10}$ e $\ell_5$: $a_{10} = \dfrac{R}{4}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ e $a_5 = \dfrac{R}{4}\left(\sqrt{5} + 1\right)$.
PropriedadeLado do polígono de 2n lados
Indicando por $\ell_{2n}$ o lado do polígono regular de $2n$ lados inscrito na mesma circunferência:
$$\ell_{2n} = \sqrt{R\left(2R - \sqrt{4R^2 - \ell_n^2}\right)}.$$Conhecido $\ell_6$, obtém-se $\ell_{12}$; com $\ell_{12}$, obtém-se $\ell_{24}$, e assim por diante — exatamente o caminho de Arquimedes até o polígono de 96 lados.
Ver a dedução (problema 7)
Sejam $\overline{AB} = \ell_n$, $M$ o seu ponto médio e $C$ o ponto médio do arco $\overset{\frown}{AB}$, de modo que $AC = \ell_{2n}$ e $MC = R - a_n$. No triângulo retângulo $AMC$:
$$\ell_{2n}^2 = \left(\frac{\ell_n}{2}\right)^2 + (R - a_n)^2 = \frac{\ell_n^2}{4} + R^2 - 2Ra_n + a_n^2 = 2R^2 - 2Ra_n,$$pois $a_n^2 + \dfrac{\ell_n^2}{4} = R^2$. Substituindo $a_n = \tfrac{1}{2}\sqrt{4R^2 - \ell_n^2}$: $\ell_{2n}^2 = R\left(2R - \sqrt{4R^2 - \ell_n^2}\right)$.
Exercícios
Conceitos e propriedades
Determine as medidas dos ângulos $x$, $y$ e $z$ nos casos: a) hexágono regular; b) pentágono regular.
Ver resposta
a) $x = 60°$, $y = 30°$, $z = 30°$ · b) $x = 36°$, $y = 72°$, $z = 108°$
Na figura temos um triângulo equilátero e um quadrado inscritos no mesmo círculo. Determine $A\hat OP$, sendo $\overline{AB}$ paralelo a $\overline{PQ}$.
Ver resposta
15°
Na figura, $\overline{AB}$ é lado do pentadecágono regular e $\overline{PQ}$ o lado do hexágono regular, inscritos na mesma circunferência. Determine $A\hat QP$, sendo $\overline{AB}$ e $\overline{PQ}$ paralelos.
Ver resposta
9°
Determine o número de lados de um polígono regular convexo cujos ângulos internos medem 179° cada.
Ver resposta
360 lados
Determine a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ de um polígono $ABCDE\ldots$ regular de 30 lados.
Ver resposta
24°
Dados dois polígonos regulares, com $(n + 1)$ lados e $n$ lados, respectivamente, determine $n$, sabendo que o ângulo interno do primeiro polígono excede o ângulo interno do segundo em 5°.
Ver a resolução do livro
Se a diferença dos ângulos internos é de 5°, a diferença entre o ângulo externo do 2º polígono e o ângulo externo do 1º também é de 5°. Então
$$\frac{360°}{n} - \frac{360°}{n + 1} = 5° \;\Rightarrow\; 72(n + 1) - 72n = n(n + 1) \;\Rightarrow\; n^2 + n - 72 = 0 \;\Rightarrow\; n = -9 \text{ ou } n = 8.$$Resposta: $n = 8$.
Ver resposta
$n = 8$
Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um: a) hexágono regular; b) octógono regular; c) decágono regular; d) dodecágono regular; e) heptágono regular; f) eneágono regular; g) polígono de $n$ lados, para $n$ par; h) polígono de $n$ lados, para $n$ ímpar?
Ver resposta
a) 2 · b) 3 · c) 4 · d) 5 · e) 2 · f) 3 · g) $\dfrac{n - 2}{2}$ · h) $\dfrac{n - 3}{2}$
Ao medir as diagonais de um polígono regular foram encontradas 6 medidas, duas a duas diferentes. Determine a soma dos ângulos internos desse polígono.
Ver resposta
2 160° ou 2 340°
De um polígono regular $ABCDE\ldots$ sabemos que o ângulo $A\hat CB$ mede 10°. Quantas diagonais desse polígono não passam pelo centro?
Ver resposta
126
O ângulo $A\hat BC$ de um polígono regular $ABCDEF\ldots$ mede 30°… Determine a soma dos ângulos internos desse polígono, sabendo que o ângulo $A\hat CB$ formado pela diagonal mede 15°.
Ver resposta
1 800°
As mediatrizes dos lados $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ de um polígono regular $ABCDEF\ldots$ formam um ângulo, que contém $B$ e $C$, de 20°. Quantas diagonais desse polígono passam pelo centro?
Ver resposta
18
As bissetrizes dos ângulos internos $\hat A$ e $\hat E$ de um polígono regular $ABCDEFG\ldots$ são perpendiculares. Qual a soma dos ângulos internos desse polígono?
Ver resposta
2 520°
As mediatrizes dos lados $\overline{AB}$ e $\overline{DE}$ de um polígono regular $ABCDE\ldots$ formam um ângulo, que contém $B$, $C$ e $D$, e excede o ângulo externo desse polígono em 20°. Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos ao medir as diagonais desse polígono?
Ver resposta
17
As retas que contêm os lados $\overline{AB}$ e $\overline{EF}$ de um polígono regular $ABCDEFG\ldots$ formam um ângulo, que contém $C$ e $D$, e é o dobro do ângulo externo do polígono. Quantas diagonais tem esse polígono?
Ver resposta
54
A diferença entre o número de lados de dois polígonos regulares é 4 e a diferença entre os seus ângulos externos é 3°. Determine o número de lados desses polígonos.
Ver resposta
20 e 24
Lembrando que no triângulo equilátero o ortocentro, o baricentro, o incentro (centro da circunferência inscrita) e o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) são coincidentes e que o baricentro divide a mediana em duas partes que medem $\tfrac{1}{3}$ e $\tfrac{2}{3}$ desta, sendo 6 m o lado do triângulo equilátero, determine: a) a altura do triângulo; b) o raio $R$ da circunscrita; c) o raio $r$ da inscrita; d) o apótema do triângulo.
Ver resposta
a) $3\sqrt{3}$ m · b) $2\sqrt{3}$ m · c) $\sqrt{3}$ m · d) $\sqrt{3}$ m
Lembrando que no quadrado a diagonal passa pelo centro, sendo 8 m o lado do quadrado, determine: a) a diagonal; b) o raio $R$ da circunscrita; c) o raio $r$ da inscrita; d) o apótema do quadrado.
Ver resposta
a) $8\sqrt{2}$ m · b) $4\sqrt{2}$ m · c) 4 m · d) 4 m
Lembrando que no hexágono regular as diagonais maiores passam pelo centro e determinam nele 6 triângulos equiláteros, sendo 6 m o lado do hexágono, determine: a) a diagonal maior; b) o raio $R$ da circunscrita; c) o raio $r$ da inscrita; d) a diagonal menor; e) o apótema do hexágono.
Ver resposta
a) 12 m · b) 6 m · c) $3\sqrt{3}$ m · d) $6\sqrt{3}$ m · e) $3\sqrt{3}$ m
Lado e apótema
Nos exercícios a seguir, em geral não é necessário usar as fórmulas deduzidas: basta calcular os elementos pedidos num esboço de figura, com a diagonal do quadrado e a altura do triângulo equilátero.
Determine o raio da circunferência circunscrita ao polígono regular de 12 m de lado nos casos: a) quadrado; b) hexágono; c) triângulo.
Ver resposta
a) $6\sqrt{2}$ m · b) 12 m · c) $4\sqrt{3}$ m
Determine o lado do polígono regular inscrito em uma circunferência de raio 6 m, nos casos: a) quadrado; b) hexágono; c) triângulo.
Ver resposta
a) $6\sqrt{2}$ m · b) 6 m · c) $6\sqrt{3}$ m
Determine o apótema (ou raio da circunferência inscrita) do polígono regular de lado 6 m, nos casos: a) quadrado; b) hexágono; c) triângulo.
Ver resposta
a) 3 m · b) $3\sqrt{3}$ m · c) $\sqrt{3}$ m
Determine o lado do polígono regular de 6 m de apótema nos casos: a) quadrado; b) hexágono; c) triângulo.
Ver resposta
a) 12 m · b) $4\sqrt{3}$ m · c) $12\sqrt{3}$ m
Determine o raio da circunferência inscrita no polígono regular, sabendo que o raio da circunscrita é 12 m, nos casos: a) quadrado; b) hexágono; c) triângulo.
Ver resposta
a) $6\sqrt{2}$ m · b) $6\sqrt{3}$ m · c) 6 m
Determine o raio da circunferência circunscrita ao polígono regular, sabendo que o raio da circunferência inscrita é 6 m, nos casos: a) quadrado; b) hexágono; c) triângulo.
Ver resposta
a) $6\sqrt{2}$ m · b) $4\sqrt{3}$ m · c) 12 m
Dado um triângulo equilátero de 6 cm de altura, calcule: a) o raio do círculo inscrito; b) o lado; c) o apótema; d) o raio do círculo circunscrito.
Ver resposta
a) 2 cm · b) $4\sqrt{3}$ cm · c) 2 cm · d) 4 cm
No hexágono regular $ABCDEF$ da figura, o lado mede 5 cm. Calcule: a) o apótema; b) o raio do círculo inscrito; c) a diagonal $\overline{AC}$.
Ver resposta
a) $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ cm · b) $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ cm · c) $5\sqrt{3}$ cm
Determine a razão entre o perímetro do quadrado inscrito em um círculo de raio $R$ e o perímetro do quadrado circunscrito a esse mesmo círculo.
Ver resposta
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Determine a relação entre os raios de dois círculos, sabendo que no primeiro está inscrito um triângulo equilátero e no segundo está inscrito um quadrado, e que os perímetros do triângulo e do quadrado são iguais.
Ver resposta
$\dfrac{4\sqrt{6}}{9}$
Determine a razão entre o apótema do quadrado e o apótema de um hexágono regular, inscritos em um círculo de raio $R$.
Ver resposta
$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Dado o raio $R$ de uma circunferência, calcule o lado e o apótema do octógono regular inscrito.
Ver resposta
Lado $R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$; apótema $\dfrac{R\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$
Qual é a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero com altura igual ao raio de um círculo e o perímetro do triângulo equilátero inscrito nesse círculo?
Ver resposta
$\dfrac{2}{3}$
Calcule a medida do segmento $\overline{AV}$ do triângulo isósceles $BCA$, circunscrito a uma circunferência de raio unitário, sabendo que o diâmetro da circunferência é igual ao segmento maior da secção áurea da altura do triângulo $BCA$, sendo $V$ o ponto médio da altura $\overline{AM}$ relativa à base.
Ver resposta
$\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$
Se o raio de uma circunferência mede 2 m, determine o lado $\ell$ do decágono regular inscrito nela. (Use os triângulos isósceles da figura e o teorema da bissetriz interna.)
Ver resposta
$(\sqrt{5} - 1)$ m
Deduza a fórmula que dá o lado do decágono regular inscrito em um círculo de raio $R$.
Ver resposta
Vide o lado do decágono regular, na teoria.
Usando o resultado do problema anterior, determine $\operatorname{sen}18°$.
Ver resposta
$\operatorname{sen}18° = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$. Note que o apótema do decágono regular, o raio $R$ da circunscrita e a metade do lado do decágono formam um triângulo retângulo com um ângulo agudo de 18°.
Sabendo que o lado do pentágono regular inscrito em um círculo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são os lados do hexágono regular e do decágono regular inscritos no mesmo círculo, determine o lado do pentágono regular inscrito em um círculo de raio $R$.
Ver resposta
Vide o lado do pentágono regular, na teoria.
Usando o resultado do problema anterior, determine $\operatorname{sen}36°$.
Ver resposta
$\operatorname{sen}36° = \dfrac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$. Note que $a_5$, $\dfrac{\ell_5}{2}$ e $R$ formam um triângulo retângulo com um ângulo de 36°.
Determine $\cos 36°$.
Ver a resolução do livro
Considere um decágono regular inscrito em uma circunferência de raio $R$. O ângulo central oposto a $\ell_{10}$ mede 36°. Aplicando a lei dos cossenos:
$$\ell_{10}^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R\cos 36° \;\Rightarrow\; \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}R\right)^2 = 2R^2 - 2R^2\cos 36°$$$$\Rightarrow\; \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = 2 - 2\cos 36° \;\Rightarrow\; 4\cos 36° = \sqrt{5} + 1 \;\Rightarrow\; \cos 36° = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}.$$Ver resposta
$\cos 36° = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{4}$
Sabendo que $\operatorname{sen}(90° - \alpha) = \cos\alpha$, determine: a) $\cos 72°$; b) $\cos 54°$; c) $\operatorname{sen}54°$.
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a) $\cos 72° = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$ · b) $\cos 54° = \dfrac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$ · c) $\operatorname{sen}54° = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{4}$
Determine: a) $\operatorname{sen}72°$; b) $\cos 18°$.
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a) $\operatorname{sen}72° = \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} + 10}}{4}$ · b) $\cos 18° = \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} + 10}}{4}$ (use a lei dos senos, $\ell_5$ e o resultado do problema anterior)
Usando a lei dos cossenos, determine o lado do octógono regular inscrito em um círculo de raio $R$.
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$\ell = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ (o ângulo central oposto a $\ell_8$ mede 45°)
Use a resposta do problema anterior e determine o raio do círculo circunscrito a um octógono regular de lado $\ell$.
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$R = \dfrac{\ell}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$
Determine as medidas das diagonais de um octógono regular de lado $\ell$.
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$\ell\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$; $\ell(\sqrt{2} + 1)$; $\ell\sqrt{2 + \sqrt{2}}$
Na figura, temos um decágono regular de lado $\ell$. Determine: a) o raio da circunferência circunscrita; b) a diagonal $\overline{AE}$; c) a diagonal $\overline{AC}$; d) a diagonal $\overline{AD}$.
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a) $R = \dfrac{\ell}{2}(\sqrt{5} + 1)$ · b) $AE = \ell\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$ · c) $AC = \ell_5 = \dfrac{\ell}{2}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ · d) $AD = \dfrac{\ell}{2}\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}$
No triângulo da figura, determine $x$ em função de $a$.
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$x = \dfrac{a}{2}(\sqrt{5} - 1)$
No triângulo da figura, determine $x$ em função de $a$.
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$x = \dfrac{a}{2}(\sqrt{5} + 1)$
Determine a diagonal de um pentágono regular de lado $\ell$.
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$d = \dfrac{\ell}{2}(\sqrt{5} + 1)$ (use o problema anterior)
Na figura temos um pentágono regular de lado $\ell$. a) Mostre que o pentágono sombreado é regular. b) Determine o lado do pentágono sombreado.
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a) Os triângulos $A'AB$, $B'BC$, $C'CD$, $D'DE$ e $E'EA$ são congruentes e isósceles de bases $\overline{AB}$, …, $\overline{EA}$; logo $\hat A' = \hat B' = \ldots = \hat E'$ e, por diferença, $A'B' = B'C' = \ldots = E'A'$: o pentágono $A'B'C'D'E'$ é regular. · b) $\dfrac{\ell}{2}(3 - \sqrt{5})$ (aplique duas vezes o problema 728)