Euler's Eyes
2026-10-12
章 16 — 正多角形
第16章 · この章で学ぶこと
正多角形
- 正多角形を認識し、 それらが内接可能および外接可能であることを証明します。
- 中心、辺心距離、および中心角を特定します。
- 正方形、六角形、正三角形 の辺と辺心距離を半径の関数として計算します。
- 正十角形と五角形の辺を求めて黄金線分を認識します。
六角ナット、ハニカム、一時停止の標識、時計の歯車など、正多角形では、中心の周りに同じピースを繰り返す必要があります。この章では、すべての正多角形が同じ中心を持つ 2 つの円の間に正確に収まることを証明し、その辺と半径から 辺心距離 を計算します。この計算は、ほぼ 2000 年前に最初の三角関数表を作成するために使用されました。
I. 概念と特性
円を等分すると正多角形ができます。逆も当てはまります。すべての正多角形には、すべての頂点を通過する円と、すべての辺に接する円があります。
発見者
正多角形の内接と外接は、ユークリッド (紀元前 300 頃) の 原論 の書 IV の主題です。彼は定規とコンパスを使って 正三角形、正方形、五角形を構築します (命題) IV.11)、六角形 (IV.15)、および 15 辺の多角形 (IV.16)。二千年の間、カール・フリードリヒ・ ガウスが1796 で正17 辺多角形を構築し、1801 でどのような正多角形が構築できるかを示すまで、これを超える人はいませんでした。 1837 ではピエール・ ヴァンツェル が他のものは不可能であることを証明しました。
歴史
ガウスとヴァンツェルの結果によると、$n$ が 2 のべき乗にさまざまなフェルマー素数 (3、5、17 など、$2^{2^k} + 1$ の形式の素数) を掛けたものである場合に、$n$ の辺を持つ正多角形を直定規とコンパスで正確に作成できることがわかります。 257 と 65 537。そのため、七角形 (7 辺) と九角形 (9 辺) は構築できませんが、257 辺を持つ多角形は構築できます。 フリードリヒ リシュローは 1832 でその構築を発表しました。
正多角形はアルキメデスにとって数字πへの道でもあり、6、12、24、48、96の辺を持つ多角形を円に内接・外接することで$3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$を得ました。
日常生活での応用
- ナットとネジ。 六角頭なので 6 つの位置でレンチを使用できます。向かい合う面間の距離は辺心距離の2倍です。
- 一時停止標識 正八角形は、雪が積もっていたり、後ろから見ても形状が認識されます。
- 歯車とスプロケット。 歯は正内接多角形の頂点のように配置されています。
- モザイクと床。 正三角形、正方形、六角形は、内角が 360° を分割するため、隙間なく平面を覆います。
出典: Elements、book IV (D. Joyce) · Gauss (MacTutor) · Wantzel (MacTutor)。
理論と作図
定義
定義正多角形
凸多角形は、 すべての一致する辺 とすべての一致する内角 を有する場合にのみ正則です。したがって、正三角形 は正三角形、正方形は正四角形です。
正多角形は等辺と等角です。
プロパティ
定理円を合同な円弧に分割する
円を $n$ ($n \geq 3$) の合同な円弧に分割します。
a) 連続する 2 つの分割点によって決まる弦は、 円周に $n$ 個の辺が内接する正多角形を形成します。
b) 分割点が描く接線によって、 円周に外接する辺が$n$ の正多角形が決まります。
デモを見る
a) 円$\lambda$の分割点$n$を$A, B, C, D, \ldots, M, N$とします。多角形 $ABCD\ldots MN$ は $n$ の辺を持ち、すべての頂点が $\lambda$ に属するため内接されます。円弧 $\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}, \ldots, \overset{\frown}{NA}$ は合同であるため、弦も $AB = BC = CD = \ldots = NA$ (1) となります。角度 $\hat A, \hat B, \ldots, \hat N$ は、それぞれが合同な円弧の $n - 2$ の合計の半分の内接角であるため、合同 (2) です。五角形の場合は、例えば$\hat A = \dfrac{\overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} + \overset{\frown}{DE}}{2}$となります。 (1) と (2) から、多角形は正多角形です。
b) 分割点を通じて接線を計算し、$\lambda$ で外接する多角形 $A'B'C'\ldots N'$ を取得します。三角形 $A'AB$、$B'BC$、…、$N'NA$ は二等辺三角形 (その底角は合同な円弧の 1 つの半分を測定するセグメント角です) であり、底辺 $AB, BC, \ldots$ が部分 a) の正多角形の辺であるため、ALA の場合は互いに合同です。したがって、$\hat A' = \hat B' = \ldots = \hat N'$ (1) と、便宜的に合計するために $A'B' = B'C' = \ldots = N'A'$ (2) になります。 (1)と(2)から、外接多角形は正多角形になります。
定理正多角形が筆記可能
すべての正多角形は円に内接することができます。つまり、正多角形が与えられると、 その頂点を通過する単一の円が存在します。
デモを見る
$ABCD\ldots MN$ を正多角形とします (五角形 $ABCDE$ を考えてください)。点 $A$、$B$、$C$ を介して、中心 $O$ の円 $\lambda$ を描きます。 LAL の場合、三角形 $OBA$ と $OCD$ は合同です: $AB = CD$ (多角形の辺)、$OB = OC$ (光線)、および $O\hat BA = O\hat CD$ (多角形の合同角 $\hat B$ と $\hat C$ と 二等辺三角形 $BOC$ の底角の差)。ロゴ$OA = OD$と$D \in \lambda$。同様に、$E \in \lambda$、…、$N \in \lambda$。一意性は、$A$、$B$、$C$ を通る円の一意性から生じます。
定理正多角形は外接可能です
すべての正多角形は円で囲まれています。つまり、正多角形が与えられた場合、 その多角形に内接する円が単一です。
デモを見る
前の定理によれば、多角形は中心 $O$ の円 $\lambda$ に内接します。側面は $\lambda$ の合同弦であるため、$O$ から等距離にあります。$A', B', C', \ldots$ は側面の中点、$OA' = OB' = OC' = \ldots$ です。この場合、$O$ は $A', B', C', \ldots$ を通過する円 $\lambda'$ の中心になります。 $\overline{OA'} \perp \overline{AB}$、$\overline{OB'} \perp \overline{BC}$、… のように、辺は $\lambda'$ に接します。別の内接円がある場合、それは $A', B', C', \ldots$ を通過し、$\lambda'$ と一致します。
注意知らせ
最後の 2 つのプロパティは最初のプロパティの逆数です。正多角形に内接する円と外接する円は同心円になります。
注目すべき要素
定義中心、辺心距離、中心角
- 正多角形の中心は、外接円と内接円の共通の中心です。
- 辺心距離 は、一方の端が中心、もう一方の端が辺の中点にある線分です。 辺心距離 は内接円の半径です。
- 中心角 とは、頂点を中心とし、辺が連続する2つの頂点を通る角度のことです。それらはすべて合同であり、測定されます
性質中心を通る対角線
正多角形の辺の数が偶数の場合、中心を通る対角線、つまり向かい合う頂点を結ぶ対角線が存在します。辺の数が奇数の場合、中心を通る対角線はありません。
II.辺と辺心距離の計算
外接円の半径を用いて、任意の正多角形の辺$\ell_n$、辺心距離$a_n$を計算します。十角形と五角形のケースには、黄金のセグメントが現れます。
発見者
このトピックの計算は、Euclid による 原論 の第 XIII 巻に記載されています。命題XIII.9は、正十角形の辺が、 半径を平均と極値の比に分割した最大の部分であることを示しています。これは、第VI巻で定義されている黄金分割です。またXIII.10は、五角形の辺の正方形が五角形の辺の正方形が次の値の合計に等しいことを証明しています。同じ円に内接する六角形と十角形の各辺の正方形。 クラウディウス プトレマイオス (2 世紀) は、まさにこれらの結果を使用して、三角関数表の最初の弦を計算しました。
歴史
「神の比例」という表現は、レオナルド・ダ・ ヴィンチがイラストを描いた本神の比例を1509で出版したイタリアの修道士ルカ・ パチョーリに由来します。 「黄金分割」という名前は、19 世紀にドイツ人のマルティン オームによって広められました。黄金比 $\dfrac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1{,}618$ もフィボナッチ数列に現れ、連続する 2 つの項間の比はそれに近づきます。
絵画、寺院、人体の黄金比についての一般的な主張の多くは誇張されているか誤りです。しかし、正五角形ではそれは現実です。対角線と辺の比率は正確に $\dfrac{1 + \sqrt5}{2}$ です。
日常生活での応用
- 五芒星。 ブラジル国旗や他の多くの星は、正五角形の対角線から描かれています。
- サッカー ボール。 クラシック ボールに 12 の五角形と 20 の正六角形がステッチされています。
- 工学。 既知の半径の円に内接する正多角形の辺から、ドームや観覧車などの円形構造物の部品のサイズが決まります。
- 技術的な図面。 直径から六角ナットを描くには、$\ell_6 = R$ を使用します。六角形の辺は半径に等しいです。
出典: 要素、命題 XIII.9 · 要素、命題 XIII.10 · パチョーリ (MacTutor) · リーズン ゴールデン (MacTutor)。
理論と作図
で表記させていただきます $\ell_n$ そばで $a_n$ 正多角形の神格化 $n$ 半径の円に内接する辺 $R$.
正方形、六角形、正三角形
まとめ半径の関数としての側面と 辺心距離
| ポリゴン | 側面$\ell_n$ | 辺心距離 $a_n$ |
|---|---|---|
| 四角 | $\ell_4 = R\sqrt{2}$ | $a_4 = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$ |
| 六角形 | $\ell_6 = R$ | $a_6 = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$ |
| 正三角形 | $\ell_3 = R\sqrt{3}$ | $a_3 = \dfrac{R}{2}$ |
控除を表示する (問題 1、2、および 3)
四角形。 直角三角形 $AOB$ に $OA = OB = R$: $\ell_4^2 = R^2 + R^2$、次に $\ell_4 = R\sqrt{2}$。 辺心距離 は、$a_4 = \dfrac{\ell_4}{2} = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$ の辺の半分です。
六角形。 中心角は 60° で、三角形 $AOB$ は頂点の角度が 60° の二等辺で、等辺 です。したがって、$\ell_6 = R$、辺心距離は正三角形の辺$R$からの高さ：$a_6 = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$となります。
正三角形. $BC = \ell_3$ と $\overline{AD}$ は直径なので、$CD = \ell_6 = R$ になります。三角形 $ACD$ は、$C$: $\ell_3^2 = (2R)^2 - R^2 = 3R^2$ では長方形であるため、$\ell_3 = R\sqrt{3}$ になります。 $O$は三角形$ABC$、$2a_3 = R$、$a_3 = \dfrac{R}{2}$の重心となります。
正十角形と黄金セグメント
性質正十角形の側面
$$\ell_{10} = \frac{R}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right).$$控除を表示 (問題 4)
二等辺三角形 $AOB$ では、$\hat O = 36°$ と $\hat A = \hat B = 72°$ で $\hat B$ から 角の二等分線 $\overline{BC}$ までたどります。三角形 $BAC$ は二等辺 ($\hat A = \hat C = 72°$) なので、$BC = \ell_{10}$ になります。三角形 $COB$ は二等辺 ($\hat O = \hat B = 36°$) なので、$OC = \ell_{10}$ になります。次に$CA = R - \ell_{10}$。三角形 $AOB$ の内部定理 角の二等分線 により、次のようになります。
$$\frac{R}{\ell_{10}} = \frac{\ell_{10}}{R - \ell_{10}} \;\Rightarrow\; \ell_{10}^2 + R\,\ell_{10} - R^2 = 0 \;\Rightarrow\; \ell_{10} = \frac{-R \pm R\sqrt{5}}{2}.$$負の解を無視する: $\ell_{10} = \dfrac{R}{2}(\sqrt{5} - 1)$。
定義ゴールデンセグメント
$x$ は、次の場合に限り、測定セグメント $a$ のゴールデン セグメント の測定値です。
$$\frac{a}{x} = \frac{x}{a - x}.$$$\dfrac{x}{a}$ の比率を黄金比といいます。割合から$x^2 + ax - a^2 = 0$、次に$x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\,a$となります。先ほどの推論により正十角形の辺が半径の黄金線分となります。
正五角形
定理正五角形の辺
正五角形の辺は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺を脚とする直角三角形の斜辺です: $\ell_5^2 = \ell_6^2 + \ell_{10}^2$。したがって、
$$\ell_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}.$$デモを見る (問題 5)
$AB = \ell_{10}$ を直線 $AB$ 上の点 $C$ とし、$AC = R$ とします。中心$A$、半径$R$の円において、中心角72°は$OC = \ell_5$に相当します($72° = \tfrac{1}{5}\cdot 360°$なので)。 $C$を通って、中心$O$、半径$R$の円$\lambda$の接線$\overline{CD}$を導くと、$\lambda$に対する$C$のべき乗は次のようになります。
$$(CD)^2 = (CA)\cdot(CB) = R\,(R - \ell_{10}) = \ell_{10}^2 \;\Rightarrow\; CD = \ell_{10}$$(前の推論からの黄金比を使用)。三角形 $ODC$ の場合、$D$ の長方形: $OC = \ell_5$ (斜辺)、$CD = \ell_{10}$、および $OD = R = \ell_6$ (脚)。ピタゴラスの定理によると、
$$\ell_5^2 = R^2 + \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}R\right)^2 = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{4}R^2 \;\Rightarrow\; \ell_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}.$$辺心距離と$2n$角形の辺の一般式
性質R と辺の関数としての 辺心距離
三角形 $AMO$ で、長方形 $M$ (辺の中点):
$$a_n^2 = R^2 - \frac{\ell_n^2}{4} \;\Rightarrow\; a_n = \frac{1}{2}\sqrt{4R^2 - \ell_n^2}.$$$\ell_{10}$ と $\ell_5$ を $a_{10} = \dfrac{R}{4}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ と $a_5 = \dfrac{R}{4}\left(\sqrt{5} + 1\right)$ に置き換えます。
性質2n 角形の辺
同じ円に$2n$の辺が内接する正多角形の辺を$\ell_{2n}$で表すと、
$$\ell_{2n} = \sqrt{R\left(2R - \sqrt{4R^2 - \ell_n^2}\right)}.$$$\ell_6$ を知っていれば、$\ell_{12}$ を取得します。 $\ell_{12}$ を使用すると、$\ell_{24}$ が得られ、以下同様になります。これは、96 辺を持つ多角形への正確なアルキメデスのパスです。
控除を表示 (問題 7)
$\overline{AB} = \ell_n$、$M$ をその中点、$C$ を円弧 $\overset{\frown}{AB}$ の中点とし、$AC = \ell_{2n}$ と $MC = R - a_n$ とします。直角三角形 $AMC$ 内:
$$\ell_{2n}^2 = \left(\frac{\ell_n}{2}\right)^2 + (R - a_n)^2 = \frac{\ell_n^2}{4} + R^2 - 2Ra_n + a_n^2 = 2R^2 - 2Ra_n,$$なぜなら$a_n^2 + \dfrac{\ell_n^2}{4} = R^2$だからです。 $a_n = \tfrac{1}{2}\sqrt{4R^2 - \ell_n^2}$ を $\ell_{2n}^2 = R\left(2R - \sqrt{4R^2 - \ell_n^2}\right)$ に置き換えます。
練習問題
概念と特性
次の場合の角度 $x$、$y$、および $z$ の寸法を決定します。 a) 正六角形。 b) 正五角形。
解答を見る
a) $x = 60°$, $y = 30°$, $z = 30°$ · b) $x = 36°$, $y = 72°$, $z = 108°$
図では、正三角形 と同じ円に内接する正方形があります。 $\overline{AB}$ が $\overline{PQ}$ と平行になるように $A\hat OP$ を決定します。
解答を見る
15°
図中、$\overline{AB}$は正五角形の辺、$\overline{PQ}$は同じ円に内接する正六角形の辺です。 $\overline{AB}$ と $\overline{PQ}$ が平行である $A\hat QP$ を決定します。
解答を見る
9°
それぞれの内角が 179° である正凸多角形の辺の数を求めます。
解答を見る
360 辺
辺が30の正多角形$ABCDE\ldots$の辺$\overline{AB}$と$\overline{CD}$の延長線がなす角度を求めます。
解答を見る
24°
それぞれ $(n + 1)$ 辺と $n$ 辺を持つ 2 つの正多角形があるとすると、最初の多角形の内角が 2 番目の内角を 5° 超えることがわかっているため、$n$ が決定されます。
この本の解像度を参照してください
内角の差が5°であれば、2番目の多角形の外角と1番目の多角形の外角の差も5°になります。それから
$$\frac{360°}{n} - \frac{360°}{n + 1} = 5° \;\Rightarrow\; 72(n + 1) - 72n = n(n + 1) \;\Rightarrow\; n^2 + n - 72 = 0 \;\Rightarrow\; n = -9 \text{ ou } n = 8.$$答え: $n = 8$。
解答を見る
$n = 8$
a: a) 正六角形の対角線を測定すると、2 つの異なる測定値がいくつ得られますか。 b) 正八角形。 c) 正十角形。 d) 正十二角形。 e) 正七角形。 f) 正七角形。 g) $n$ ペアの場合、$n$ 辺を持つ多角形。 h) $n$ 辺を持つ多角形、$n$ は奇数ですか?
解答を見る
a) 2 · b) 3 · c) 4 · d) 5 · e) 2 · f) 3 · g) $\dfrac{n - 2}{2}$ · h) $\dfrac{n - 3}{2}$
正多角形の対角線を測定すると、2 つずつ異なる 6 の測定値が見つかりました。この多角形の内角の合計を求めます。
解答を見る
2 160° または 2 340°
正多角形 $ABCDE\ldots$ から、角度 $A\hat CB$ の測定値は 10°であることがわかります。この多角形の中心を通らない対角線は何本ありますか?
解答を見る
126
正多角形$ABCDEF\ldots$の角度$A\hat BC$は30°です…対角線がなす角$A\hat CB$は15°であることがわかり、この多角形の内角の合計を求めます。
解答を見る
1 800°
正多角形$ABCDEF\ldots$の辺$\overline{AB}$と$\overline{CD}$の垂直二等分線は、$B$と$C$を含む角20°を成します。この多角形の中心を通る対角線は何本ありますか?
解答を見る
18
正多角形$ABCDEFG\ldots$の内角$\hat A$と内角$\hat E$の角の二等分線は垂直です。この多角形の内角の合計はいくらですか?
解答を見る
2 520°
正多角形$ABCDE\ldots$の辺$\overline{AB}$と$\overline{DE}$の垂直二等分線は、$B$、$C$、$D$を含む角をなし、その多角形の外角を20°超えます。この多角形の対角線を測定すると、2 つずつ異なる測定値がいくつ得られるでしょうか?
解答を見る
17
正多角形$ABCDEFG\ldots$の辺$\overline{AB}$と$\overline{EF}$を含む直線は、$C$と$D$を含む多角形の外角の2倍の角を形成します。この多角形の対角線は何本ありますか?
解答を見る
54
2つの正多角形の辺の数の差は4、外角の差は3°です。これらの多角形の辺の数を決定します。
解答を見る
20 e 24
正三角形 垂心、重心、内心 (内接円の中心)、および 外心 (外接円の中心) は一致しており、重心 は中央値を 2 つの部分に分割し、後者の $\tfrac{1}{3}$ と $\tfrac{2}{3}$ を測定し、6 がその辺であることを思い出してください。 正三角形 から以下を決定します。 a) 三角形の高さ。 b) 外接の半径 $R$。 c) 碑文の半径 $r$。 d) 三角形の 辺心距離。
解答を見る
a) $3\sqrt{3}$ m · b) $2\sqrt{3}$ m · c) $\sqrt{3}$ m · d) $\sqrt{3}$ m
正方形では、8 m を正方形の辺として、対角線が中心を通過することを思い出して、次のことを決定します。 a) 対角線。 b) 外接の半径 $R$。 c) 碑文の半径 $r$。 d) 正方形の 辺心距離。
解答を見る
a) $8\sqrt{2}$ m · b) $4\sqrt{2}$ m · c) 4 m · d) 4 m
正六角形では、最大の対角線が中心を通過し、その中で 6 正三角形 を決定し、6 m が六角形の辺であることを思い出して、次のことを決定します。 a) 最大の対角線。 b) 外接の半径 $R$。 c) 碑文の半径 $r$。 d) 小さい方の対角線。 e) 六角形の辺心距離。
解答を見る
a) 12 m · b) 6 m · c) $3\sqrt{3}$ m · d) $6\sqrt{3}$ m · e) $3\sqrt{3}$ m
側面と辺心距離
以下の演習では、通常、推定された公式を使用する必要はありません。正方形の対角線と 正三角形 の高さを使用して、図形スケッチ内の必要な要素を計算するだけです。
次の場合の、辺が 12 m の正多角形に外接する円の半径を求めます。 a) 正方形。 b) 六角形。 c) 三角形。
解答を見る
a) $6\sqrt{2}$ m · b) 12 m · c) $4\sqrt{3}$ m
半径 6 m の円に内接する正多角形の辺を次の場合に求めます。 a) 正方形。 b) 六角形。 c) 三角形。
解答を見る
a) $6\sqrt{2}$ m · b) 6 m · c) $6\sqrt{3}$ m
次の場合、辺が 6 m の正多角形の 辺心距離 (または内接円の半径) を求めます。 b) 六角形。 c) 三角形。
解答を見る
a) 3 m · b) $3\sqrt{3}$ m · c) $\sqrt{3}$ m
6 m of 辺心距離 の正多角形の辺を次の場合に求めます。 a) 正方形。 b) 六角形。 c) 三角形。
解答を見る
a) 12 m · b) $4\sqrt{3}$ m · c) $12\sqrt{3}$ m
正多角形に内接する円の半径を求めます。次の場合の外接半径は 12 m です。 a) 正方形。 b) 六角形。 c) 三角形。
解答を見る
a) $6\sqrt{2}$ m · b) $6\sqrt{3}$ m · c) 6 m
次の場合、内接円の半径は 6 m であることがわかっているので、正多角形によって外接する円の半径を決定します。 b) 六角形。 c) 三角形。
解答を見る
a) $6\sqrt{2}$ m · b) $4\sqrt{3}$ m · c) 12 m
高さが 6 cm の 正三角形 として、以下を計算します。 a) 内接円の半径。 b) 側面。 c) 辺心距離; d) 外接円の半径。
解答を見る
a) 2 cm ・ b) $4\sqrt{3}$ cm ・ c) 2 cm ・ d) 4 cm
図の正六角形$ABCDEF$の場合、一辺の長さは5cmとなります。計算します: a) 辺心距離; b) 内接円の半径。 c) 対角線 $\overline{AC}$。
解答を見る
a)$\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$cm・b)$\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$cm・c)$5\sqrt{3}$cm
半径$R$の円に内接する正方形の周囲長と、その同じ円に外接する正方形の周囲長の比を求めます。
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$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
最初の円は 正三角形 で内接され、2 番目の円は正方形で内接され、三角形と正方形の周囲が等しいことを知って、2 つの円の半径間の関係を調べます。
解答を見る
$\dfrac{4\sqrt{6}}{9}$
半径$R$の円に内接する正方形の辺心距離と正六角形の辺心距離の比を求めます。
解答を見る
$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
円の半径$R$が与えられた場合、内接正八角形の辺と辺心距離を計算します。
解答を見る
サイド $R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$; 辺心距離 $\dfrac{R\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$
円の半径と同じ高さの正三角形の周長と、その円に内接する正三角形の周長の比は何ですか?
解答を見る
$\dfrac{2}{3}$
単位半径の円に外接する 二等辺三角形 $BCA$ の線分 $\overline{AV}$ の測定値を計算します。円の直径は三角形 $BCA$ の高さの黄金分割の最大線分に等しく、$V$ は底辺に対する高さ $\overline{AM}$ の中点です。
解答を見る
$\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$
円の半径が2mの場合、その円に内接する正十角形の辺$\ell$を求めます。 (図の二等辺三角形と内部定理角の二等分線を使用します。)
解答を見る
$(\sqrt{5} - 1)$ m
半径$R$の円に内接する正十角形の辺を与える式を導き出します。
解答を見る
理論的には、正十角形の側面を見てください。
前の問題の結果を使用して、$\operatorname{sen}18°$ を決定します。
解答を見る
$\operatorname{sen}18° = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$。なお、正十角形の辺心距離と、十角形の外接1.5辺の半径$R$は、鋭角が18°の直角三角形を形成します。
円に内接する正五角形の辺は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺を足とする直角三角形の斜辺であることがわかるので、半径$R$の円に内接する正五角形の辺を求めます。
解答を見る
理論的には、正五角形の側面を見てください。
前の問題の結果を使用して、$\operatorname{sen}36°$ を決定します。
解答を見る
$\operatorname{sen}36° = \dfrac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$。 $a_5$、$\dfrac{\ell_5}{2}$、$R$ は角度 36°の直角三角形を形成することに注意してください。
$\cos 36°$を決定します。
この本の解像度を参照してください
半径$R$の円に内接する正十角形を考えます。 $\ell_{10}$ の反対側の中心角は 36° になります。余弦の法則を適用すると、次のようになります。
$$\ell_{10}^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R\cos 36° \;\Rightarrow\; \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}R\right)^2 = 2R^2 - 2R^2\cos 36°$$$$\Rightarrow\; \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = 2 - 2\cos 36° \;\Rightarrow\; 4\cos 36° = \sqrt{5} + 1 \;\Rightarrow\; \cos 36° = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}.$$解答を見る
$\cos 36° = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{4}$
$\operatorname{sen}(90° - \alpha) = \cos\alpha$ がわかっているので、次のことを決定します。 a) $\cos 72°$; b) $\cos 54°$; c) $\operatorname{sen}54°$。
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a) $\cos 72° = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$ · b) $\cos 54° = \dfrac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$ · c) $\operatorname{sen}54° = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{4}$
以下を決定します。 a) $\operatorname{sen}72°$; b) $\cos 18°$。
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a) $\operatorname{sen}72° = \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} + 10}}{4}$ · b) $\cos 18° = \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} + 10}}{4}$ (正弦の法則、$\ell_5$、および前の問題の結果を使用)
余弦の法則を使用して、半径$R$の円に内接する正八角形の辺を求めます。
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$\ell = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ ($\ell_8$ の反対側の中心角は 45°を測定します)
前の問題の答えを使用して、辺が $\ell$ の正八角形に外接する円の半径を求めます。
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$R = \dfrac{\ell}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$
1 辺が $\ell$ の正八角形の対角線の寸法を求めます。
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$\ell\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$; $\ell(\sqrt{2} + 1)$; $\ell\sqrt{2 + \sqrt{2}}$
図では、1 辺が $\ell$ の正十角形があります。 a) 外接円の半径を決定します。 b) 対角線 $\overline{AE}$。 c) 対角線 $\overline{AC}$。 d) 対角線 $\overline{AD}$。
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a) $R = \dfrac{\ell}{2}(\sqrt{5} + 1)$ · b) $AE = \ell\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$ · c) $AC = \ell_5 = \dfrac{\ell}{2}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ · d) $AD = \dfrac{\ell}{2}\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}$
図中の三角形において、$a$の関数として$x$を求めます。
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$x = \dfrac{a}{2}(\sqrt{5} - 1)$
図中の三角形において、$a$の関数として$x$を求めます。
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$x = \dfrac{a}{2}(\sqrt{5} + 1)$
辺が$\ell$の正五角形の対角線を求めます。
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$d = \dfrac{\ell}{2}(\sqrt{5} + 1)$ (前の問題を使用)
この図には、辺が $\ell$ の正五角形があります。 a) 影付きの五角形が正則であることを示します。 b) 影付きの五角形の辺を決定します。
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a) 三角形 $A'AB$、$B'BC$、$C'CD$、$D'DE$、および $E'EA$ は合同であり、底辺 $\overline{AB}$、…、$\overline{EA}$ と二等辺です。したがって、$\hat A' = \hat B' = \ldots = \hat E'$ と、違いとして $A'B' = B'C' = \ldots = E'A'$: 五角形 $A'B'C'D'E'$ は正五角形です。・b) $\dfrac{\ell}{2}(3 - \sqrt{5})$ (問題728を2回適用)