Euler's Eyes
2026-10-12
第 16 章 — 正多边形
Capítulo 16 · Neste capítulo você vai
正多边形
- 识别正多边形并证明它们是不可描述的和可外接的；
- 识别中心、边心距和中心角；
- 计算正方形、六边形和 等边三角形 的边长和 边心距 作为半径的函数；
- 获取正则十边形和五边形的边并识别黄金线段。
六角螺母、蜂窝、停车标志、时钟齿轮：正多边形是您需要围绕中心重复相同部件的地方。在本章中，我们证明每个正多边形都精确地拟合在具有相同中心的两个圆之间，并根据半径计算其边长和 边心距 - 大约两千多年前的计算被用来创建第一个三角表。
一、概念和性质
将圆分成相等的部分会产生正多边形。反之亦然：每个正多边形都有一个穿过所有顶点的圆和另一个接触所有边的圆。
谁发现的
内接和外接正多边形是 欧几里德（约公元前 300）第四卷 几何原本 的主题：他用尺子和圆规构造了 等边三角形、正方形、五边形（命题IV.11)、六边形 (IV.15) 和 15 边多边形 (IV.16)。两千多年来没有人超越这一点，直到卡尔·弗里德里希·高斯在1796中构造了正17边多边形，并在1801中展示了可以构造哪些正多边形；在 1837 中，Pierre Wantzel 证明了其他人的不可能。
故事
Gauss 和 Wantzel 的结果表明，当 $n$ 是 2 的幂乘以不同的 费马素数（形式为 $2^{2^k} + 1$ 的素数，例如 3、5、17 时，可以用直尺和圆规构造具有 $n$ 边的正多边形， 257 和 65 537。这就是为什么七边形（7边）和九边形（9边）无法构造，但具有257边的多边形可以：在1832中，Friedrich Richelot发布了其构造。
正多边形也是阿基米德到数字π的路径：通过在圆中内接和外接具有6、12、24、48和96边的多边形，他得到$3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$。
在日常生活中
- 螺母和螺钉。 六角头允许扳手在六个位置使用；相对面之间的距离是 边心距 的两倍。
- **停车标志。**即使标志被雪覆盖或从后面看，也可以通过其形状识别正八边形。
- **齿轮和链轮。**齿的分布类似于规则内接多边形的顶点。
- **马赛克和地板。**正三角形、正方形和六边形无间隙地覆盖平面，因为它们的内角平分 360°。
来源： 元素，第四册 (D. Joyce) · 高斯 (MacTutor) · Wantzel (MacTutor)。
理论与结构
定义
Definição正多边形
凸多边形是正多边形当且仅当它具有所有全等边和所有全等内角。因此，等边三角形 是正三角形，正方形是正四边形。
正多边形是 等边 和 等角。
特性
Teorema将圆分成全等的弧
将圆分成 $n$ ($n \geq 3$) 个全等弧：
a) 由两个连续分割点确定的弦形成一个圆周上有$n$条内接边的正多边形；
b) 分割点绘制的切线确定了一个正多边形，$n$条边外接到圆周。
查看演示
a) 设$A, B, C, D, \ldots, M, N$为圆$\lambda$的$n$分割点。多边形 $ABCD\ldots MN$ 具有 $n$ 条边并且内接，因为所有顶点都属于 $\lambda$。由于弧 $\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}, \ldots, \overset{\frown}{NA}$ 是全等的，因此弦也是：$AB = BC = CD = \ldots = NA$ (1)。角度 $\hat A, \hat B, \ldots, \hat N$ 是全等的 (2)，因为每个角度都是全等弧 $n - 2$ 之和的一半的内切角。以五边形为例，$\hat A = \dfrac{\overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} + \overset{\frown}{DE}}{2}$。从 (1) 和 (2) 可以看出，该多边形是正多边形。
b) 通过分割点进行切线，得到$\lambda$外接的多边形$A'B'C'\ldots N'$。三角形 $A'AB$、$B'BC$、…、$N'NA$ 是等腰三角形（它们的底角是测量其中一个全等弧的一半的线段角），并且在 ALA 情况下彼此全等，因为底边 $AB, BC, \ldots$ 是 a) 部分中正多边形的边。因此，为 $\hat A' = \hat B' = \ldots = \hat N'$ (1)，并且为了方便求和，为 $A'B' = B'C' = \ldots = N'A'$ (2)。由(1)和(2)可知，外接多边形是正多边形。
Teorema正多边形是可内接的
每个正多边形都可以内接于圆；也就是说，给定一个正多边形，有一个单个圆穿过其顶点。
查看演示
令 $ABCD\ldots MN$ 为正多边形（想想五边形 $ABCDE$）。通过点 $A$、$B$ 和 $C$，我们绘制以 $O$ 为圆心的圆 $\lambda$。在 LAL 情况下，三角形 $OBA$ 和 $OCD$ 全等：$AB = CD$（多边形的边）、$OB = OC$（射线）和 $O\hat BA = O\hat CD$（多边形的全等角 $\hat B$ 和 $\hat C$ 与 等腰三角形 $BOC$ 的底角之间的差）。标志 $OA = OD$ 和 $D \in \lambda$。类似地，$E \in \lambda$，…，$N \in \lambda$。唯一性来自于经过$A$、$B$和$C$的圆的唯一性。
Teorema正多边形是有外接的
每个正多边形都有一个圆外接；也就是说，给定一个正多边形，有一个 单个 圆内切于该多边形。
查看演示
根据前面的定理，多边形内接于以$O$为圆心的圆$\lambda$。这些边是 $\lambda$ 的全等弦，因此它们与 $O$ 的距离相等：$A', B', C', \ldots$ 是边的中点，$OA' = OB' = OC' = \ldots$。那么$O$就是经过$A', B', C', \ldots$的圆$\lambda'$的圆心；如 $\overline{OA'} \perp \overline{AB}$、$\overline{OB'} \perp \overline{BC}$、…，边与 $\lambda'$ 相切。如果还有另一个内切圆，它会经过$A', B', C', \ldots$并与$\lambda'$重合。
Atenção注意
最后两个属性是第一个属性的倒数。正多边形的内接圆和外接圆是同心。
值得注意的元素
Definição中心、边心距 和中心角
- 正多边形的中心是外接圆和内切圆的公共中心。
- 边心距 是一端位于中心、另一端位于一侧中点的线段。 边心距 是内切圆的半径。
- 中心角是以一个顶点为中心且边经过两个连续顶点的角度。它们都是一致且测量的
Propriedade通过中心的对角线
如果正多边形的边数为偶数，则它具有穿过中心的对角线：连接相对顶点的对角线。如果它的边数为奇数，则没有对角线穿过中心。
二.边和边心距的计算
使用外接圆的半径，计算任何正多边形的边 $\ell_n$ 和 边心距 $a_n$。十边形和五边形的情况揭示了黄金分割。
谁发现的
本主题中的计算位于Euclid 的几何原本 的第十三卷中。命题XIII.9表明正十边形的边是半径划分为均值与极值比（我们的黄金线段，在第六本书中定义）的最大线段，并且XIII.10证明五边形边上的平方等于六边形和十边形的边的正方形内接于同一圆。 克劳狄斯·托勒密（2世纪）正是使用这些结果来计算他的三角表的第一个和弦。
故事
“神圣比例”一词源自意大利修道士Luca Pacioli，他在1509出版了De divina比例一书，由达芬奇绘制插图； “黄金分割”这个名字是由德国人马丁·欧姆在19世纪流行起来的。黄金比例 $\dfrac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1{,}618$ 也出现在斐波那契数列中：两个连续项之间的比率接近它。
许多关于绘画、寺庙和人体黄金比例的流行说法都是夸大或错误的。但在正五边形中它是实数：对角线与边的比率恰好是$\dfrac{1 + \sqrt5}{2}$。
在日常生活中
- **五角星。**巴西国旗上的星星和许多其他星星都是从正五边形的对角线绘制的。
- 足球。 经典球由 12 五边形和 20 正六边形缝合而成。
- 工程。 内切于已知半径的圆的正多边形的边给出了圆形结构各部分的尺寸，例如圆顶或摩天轮。
- 技术绘图。 要从直径绘制六角螺母，请使用 $\ell_6 = R$：六边形的边等于半径。
来源： 元素，命题 XIII.9 · 元素，命题 XIII.10 · Pacioli (MacTutor) · Reason Golden (MacTutor)。
理论与结构
我们将用 $\ell_n$ 表示正多边形的边，并用 $a_n$ 表示 边心距，其中 $n$ 边内切于半径为 $R$ 的圆中。
正方形、六边形和 等边三角形
Resumo边和 边心距 作为半径的函数
| 多边形 | 侧面 $\ell_n$ | 边心距 $a_n$ |
|---|---|---|
| 正方形 | $\ell_4 = R\sqrt{2}$ | $a_4 = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$ |
| 六边形 | $\ell_6 = R$ | $a_6 = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$ |
| 等边三角形 | $\ell_3 = R\sqrt{3}$ | $a_3 = \dfrac{R}{2}$ |
查看扣除额（问题 1、2 和 3）
正方形。 在直角三角形 $AOB$ 中，先有 $OA = OB = R$：$\ell_4^2 = R^2 + R^2$，然后是 $\ell_4 = R\sqrt{2}$。 边心距 是边的一半：$a_4 = \dfrac{\ell_4}{2} = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$。
六边形。 圆心角为 60°，三角形 $AOB$ 是等腰三角形，顶点角为 60°：它是 等边。因此，$\ell_6 = R$和边心距是等边三角形距边$R$的高度：$a_6 = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$。
等边三角形。 由于 $BC = \ell_3$ 和 $\overline{AD}$ 是直径，因此我们有 $CD = \ell_6 = R$。三角形 $ACD$ 在 $C$: $\ell_3^2 = (2R)^2 - R^2 = 3R^2$ 中是矩形，因此 $\ell_3 = R\sqrt{3}$。因为$O$是三角形$ABC$、$2a_3 = R$和$a_3 = \dfrac{R}{2}$的重心。
正十边形和黄金分割
Propriedade正十边形的边
$$\ell_{10} = \frac{R}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right).$$查看推导（问题4）
在等腰三角形$AOB$中，通过$\hat O = 36°$和$\hat A = \hat B = 72°$，我们从$\hat B$追溯到角平分线$\overline{BC}$。三角形 $BAC$ 是等腰三角形 ($\hat A = \hat C = 72°$)，因此是 $BC = \ell_{10}$；三角形 $COB$ 是等腰 ($\hat O = \hat B = 36°$)，因此是 $OC = \ell_{10}$。然后$CA = R - \ell_{10}$。由三角形 $AOB$ 的内 角平分线 定理：
$$\frac{R}{\ell_{10}} = \frac{\ell_{10}}{R - \ell_{10}} \;\Rightarrow\; \ell_{10}^2 + R\,\ell_{10} - R^2 = 0 \;\Rightarrow\; \ell_{10} = \frac{-R \pm R\sqrt{5}}{2}.$$忽略负解：$\ell_{10} = \dfrac{R}{2}(\sqrt{5} - 1)$。
Definição黄金段
$x$ 是测量段 $a$ 的黄金段 的测量值当且仅当：
$$\frac{a}{x} = \frac{x}{a - x}.$$比率 $\dfrac{x}{a}$ 称为黄金比例。从比例来看，$x^2 + ax - a^2 = 0$，然后是$x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\,a$。通过前面的推导，正十边形的边就是半径的黄金分割线。
正五边形
Teorema正五边形的边
正五边形的边是直角三角形的斜边，直角三角形的边是正六边形和正十边形的边内切于同一圆：$\ell_5^2 = \ell_6^2 + \ell_{10}^2$。因此
$$\ell_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}.$$查看演示（问题 5）
设 $AB = \ell_{10}$ 为直线 $AB$ 上的点 $C$，使得 $AC = R$。在以 $A$ 为圆心、以 $R$ 为半径的圆中，72° 的圆心角对应于 $OC = \ell_5$（因为 $72° = \tfrac{1}{5}\cdot 360°$）。通过 $C$ 与以 $O$ 为圆心 $R$ 为半径的圆 $\lambda$ 的切线 $\overline{CD}$，可得出 $C$ 相对于 $\lambda$ 的幂
$$(CD)^2 = (CA)\cdot(CB) = R\,(R - \ell_{10}) = \ell_{10}^2 \;\Rightarrow\; CD = \ell_{10}$$（使用之前推导的黄金比例）。在三角形 $ODC$ 中，$D$ 中的矩形：$OC = \ell_5$（斜边）、$CD = \ell_{10}$ 和 $OD = R = \ell_6$（边）。根据毕达哥拉斯定理：
$$\ell_5^2 = R^2 + \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}R\right)^2 = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{4}R^2 \;\Rightarrow\; \ell_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}.$$边心距和$2n$边多边形的边的通式
Propriedade边心距 作为 R 和 side 的函数
在三角形 $AMO$ 中，矩形位于 $M$（边的中点）：
$$a_n^2 = R^2 - \frac{\ell_n^2}{4} \;\Rightarrow\; a_n = \frac{1}{2}\sqrt{4R^2 - \ell_n^2}.$$将$\ell_{10}$和$\ell_5$替换为：$a_{10} = \dfrac{R}{4}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$和$a_5 = \dfrac{R}{4}\left(\sqrt{5} + 1\right)$。
Propriedade2n边多边形的边
用$\ell_{2n}$表示与$2n$边内接于同一圆的正多边形的边：
$$\ell_{2n} = \sqrt{R\left(2R - \sqrt{4R^2 - \ell_n^2}\right)}.$$知道$\ell_6$，得到$\ell_{12}$；通过 $\ell_{12}$，我们得到 $\ell_{24}$，依此类推 — 正是阿基米德到具有 96 边的多边形的路径。
查看推导（问题7）
设$\overline{AB} = \ell_n$、$M$为其中点，$C$为圆弧$\overset{\frown}{AB}$的中点，则$AC = \ell_{2n}$和$MC = R - a_n$。在直角三角形 $AMC$ 中：
$$\ell_{2n}^2 = \left(\frac{\ell_n}{2}\right)^2 + (R - a_n)^2 = \frac{\ell_n^2}{4} + R^2 - 2Ra_n + a_n^2 = 2R^2 - 2Ra_n,$$因为$a_n^2 + \dfrac{\ell_n^2}{4} = R^2$。替换 $a_n = \tfrac{1}{2}\sqrt{4R^2 - \ell_n^2}$：$\ell_{2n}^2 = R\left(2R - \sqrt{4R^2 - \ell_n^2}\right)$。
练习
概念和属性
确定以下情况下角度 $x$、$y$ 和 $z$ 的尺寸： a) 正六边形； b) 正五边形。
Ver resposta
a) $x = 60°$, $y = 30°$, $z = 30°$ · b) $x = 36°$, $y = 72°$, $z = 108°$
在图中，我们有一个 等边三角形 和一个内切于同一个圆的正方形。确定$A\hat OP$，$\overline{AB}$与$\overline{PQ}$平行。
Ver resposta
15°
图中，$\overline{AB}$是正十五边形的边，$\overline{PQ}$是正六边形的边，它们在同一个圆内接。确定$A\hat QP$，其中$\overline{AB}$和$\overline{PQ}$平行。
Ver resposta
9°
确定每个内角为 179° 的正凸多边形的边数。
Ver resposta
360 边
确定正多边形 $ABCDE\ldots$ 与 30 边的延伸线 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 所形成的角度。
Ver resposta
24°
给定两个正多边形，分别具有 $(n + 1)$ 边和 $n$ 边，确定第一个多边形的内角超出第二个多边形的内角 5°，从而确定 $n$。
看书上的解决办法
如果内角之差为5°，则第二个多边形的外角与第一个多边形的外角之差也是5°。然后
$$\frac{360°}{n} - \frac{360°}{n + 1} = 5° \;\Rightarrow\; 72(n + 1) - 72n = n(n + 1) \;\Rightarrow\; n^2 + n - 72 = 0 \;\Rightarrow\; n = -9 \text{ ou } n = 8.$$答案：$n = 8$。
Ver resposta
$n = 8$
当我们测量 a 的对角线时，我们会得到多少个测量值，两个不同的测量值： a) 正六边形； b) 正八边形； c) 正十边形； d) 正十二边形； e) 正七边形； f) 正九边形； g) 边长为 $n$ 的多边形，对于 $n$ 对； h) 边长为 $n$ 的多边形，对于 $n$ 为奇数？
Ver resposta
a) 2 · b) 3 · c) 4 · d) 5 · e) 2 · f) 3 · g) $\dfrac{n - 2}{2}$ · h) $\dfrac{n - 3}{2}$
当测量正多边形的对角线时，发现 6 测量值，两两不同。求该多边形的内角和。
Ver resposta
2 160° 或 2 340°
从正多边形 $ABCDE\ldots$ 我们知道角度 $A\hat CB$ 的测量值为 10°。这个多边形有多少条对角线不经过中心？
Ver resposta
126
正多边形 $ABCDEF\ldots$ 的角度 $A\hat BC$ 测量为 30°… 确定该多边形的内角和，已知对角线形成的角度 $A\hat CB$ 测量为 15°。
Ver resposta
1 800°
正多边形$ABCDEF\ldots$的边$\overline{AB}$和$\overline{CD}$的垂直平分线形成20°的角，该角包含$B$和$C$。这个多边形有多少条对角线经过中心？
Ver resposta
18
正多边形$ABCDEFG\ldots$的内角$\hat A$和$\hat E$的角平分线垂直。这个多边形的内角和是多少？
Ver resposta
2 520°
正多边形 $ABCDE\ldots$ 的边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{DE}$ 的 垂直平分线 形成一个角，该角包含 $B$、$C$ 和 $D$，并且比该多边形的外角超出 20°。当测量这个多边形的对角线时，我们获得了多少个两个不同的测量值？
Ver resposta
17
包含正多边形 $ABCDEFG\ldots$ 的边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{EF}$ 的线形成一个角，该角包含 $C$ 和 $D$，并且是多边形外角的两倍。这个多边形有多少条对角线？
Ver resposta
54
两个正多边形的边数之差为4，其外角之差为3°。确定这些多边形的边数。
Ver resposta
20 e 24
请记住，在 等边三角形 中，垂心、重心、内心（内切圆的中心）和 外心（外接圆的中心）是重合的，并且 重心 将中位数分为测量后者的 $\tfrac{1}{3}$ 和 $\tfrac{2}{3}$ 的两部分，其中 6 是等边三角形、确定：a)三角形的高度； b) 外接圆半径$R$； c) 铭文的半径$r$； d) 三角形的边心距。
Ver resposta
a) $3\sqrt{3}$ m · b) $2\sqrt{3}$ m · c) $\sqrt{3}$ m · d) $\sqrt{3}$ m
记住，在正方形中，对角线穿过中心，8 m 是正方形的边，确定： a) 对角线； b) 外接圆半径$R$； c) 铭文的半径$r$； d) 正方形的边心距。
Ver resposta
a) $8\sqrt{2}$ m · b) $4\sqrt{2}$ m · c) 4 m · d) 4 m
记住，在正六边形中，最大的对角线穿过中心并确定其中的 6 等边三角形，其中 6 m 是六边形的边，确定： a) 最大的对角线； b) 外接圆半径$R$； c) 铭文的半径$r$； d) 较小的对角线； e) 六边形的边心距。
Ver resposta
a) 12 m · b) 6 m · c) $3\sqrt{3}$ m · d) $6\sqrt{3}$ m · e) $3\sqrt{3}$ m
侧面和 边心距
在后面的练习中，一般不需要使用推导公式：只需计算图形草图中所需的元素，正方形的对角线和高度为等边三角形。
确定边长为 12 m 的正多边形外接圆的半径，其中： a) 正方形； b) 六角形； c) 三角形。
Ver resposta
a) $6\sqrt{2}$ m · b) 12 m · c) $4\sqrt{3}$ m
确定半径为 6 m 的圆的内接正多边形的边，情况为： a) 正方形； b) 六角形； c) 三角形。
Ver resposta
a) $6\sqrt{2}$ m · b) 6 m · c) $6\sqrt{3}$ m
确定边长为 6 m 的正多边形的 边心距（或内切圆半径），情况为： a) 正方形； b) 六角形； c) 三角形。
Ver resposta
a) 3 m · b) $3\sqrt{3}$ m · c) $\sqrt{3}$ m
确定 边心距 的 6 m 正多边形的边，其中： a) 正方形； b) 六角形； c) 三角形。
Ver resposta
a) 12 m · b) $4\sqrt{3}$ m · c) $12\sqrt{3}$ m
确定正多边形的内接圆的半径，已知外接半径为12米，在以下情况下：a）正方形； b) 六角形； c) 三角形。
Ver resposta
a) $6\sqrt{2}$ m · b) $6\sqrt{3}$ m · c) 6 m
已知正多边形的内接圆半径为6米，确定正多边形外接圆的半径，情况： a) 正方形； b) 六角形； c) 三角形。
Ver resposta
a) $6\sqrt{2}$ m · b) $4\sqrt{3}$ m · c) 12 m
给定高度为 等边三角形 的 6 厘米，计算： a) 内切圆的半径； b) 侧面； c) 边心距； d) 外接圆的半径。
Ver resposta
a) 2 厘米 · b) $4\sqrt{3}$ 厘米 · c) 2 厘米 · d) 4 厘米
在图中的正六边形$ABCDEF$中，边长为5厘米。计算：a)边心距； b) 内切圆的半径； c) 对角线 $\overline{AC}$。
Ver resposta
a) $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ 厘米 · b) $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ 厘米 · c) $5\sqrt{3}$ 厘米
确定半径为 $R$ 的圆内切正方形的周长与同一个圆外接的正方形周长之间的比率。
Ver resposta
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
确定两个圆的半径之间的关系，已知第一个圆与 等边三角形 内接，第二个圆与正方形内接，并且三角形和正方形的周长相等。
Ver resposta
$\dfrac{4\sqrt{6}}{9}$
确定正方形的 边心距 与正六边形（内接于半径 $R$ 的圆）的 边心距 之间的比率。
Ver resposta
$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
给定圆的半径 $R$，计算内接正八边形的边长和 边心距。
Ver resposta
侧面$R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$； 边心距 $\dfrac{R\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$
高度等于圆半径的 等边三角形 的周长与该圆内接的 等边三角形 的周长之比是多少？
Ver resposta
$\dfrac{2}{3}$
计算 等腰三角形 $BCA$ 的线段 $\overline{AV}$ 的尺寸，外接一个单位半径的圆，知道圆的直径等于三角形高度 $BCA$ 的黄金分割线的最大线段，$V$ 是高度 $\overline{AM}$ 相对于底边的中点。
Ver resposta
$\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$
如果圆的半径为 2 米，则确定其内接的正十边形的边长 $\ell$。 （利用图中的等腰三角形和内部的角平分线定理。）
Ver resposta
$(\sqrt{5} - 1)$ m
推导给出半径为 $R$ 的圆内接的正十边形边的公式。
Ver resposta
理论上看正十边形的边。
使用上一题的结果确定 $\operatorname{sen}18°$。
Ver resposta
$\operatorname{sen}18° = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$。注意，正十边形的边心距、十边形外接一条的半径$R$和边的一半形成锐角为18°的直角三角形。
已知正五边形的内切边是直角三角形的斜边，直角三角形的直角三角形的边是正六边形和正十边形的边，求出半径为$R$的圆内切的正五边形的边。
Ver resposta
理论上看正五边形的边长。
使用上一题的结果确定 $\operatorname{sen}36°$。
Ver resposta
$\operatorname{sen}36° = \dfrac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$。请注意，$a_5$、$\dfrac{\ell_5}{2}$ 和 $R$ 形成一个角为 36° 的直角三角形。
确定$\cos 36°$。
看书上的解决办法
考虑一个半径为 $R$ 的圆内接的正十边形。 $\ell_{10}$ 对面的圆心角为 36°。应用余弦定律：
$$\ell_{10}^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R\cos 36° \;\Rightarrow\; \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}R\right)^2 = 2R^2 - 2R^2\cos 36°$$$$\Rightarrow\; \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = 2 - 2\cos 36° \;\Rightarrow\; 4\cos 36° = \sqrt{5} + 1 \;\Rightarrow\; \cos 36° = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}.$$Ver resposta
$\cos 36° = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{4}$
已知$\operatorname{sen}(90° - \alpha) = \cos\alpha$，确定： a) $\cos 72°$； b) $\cos 54°$； c) $\operatorname{sen}54°$。
Ver resposta
a) $\cos 72° = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$ · b) $\cos 54° = \dfrac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$ · c) $\operatorname{sen}54° = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{4}$
确定：a)$\operatorname{sen}72°$； b) $\cos 18°$。
Ver resposta
这） $\operatorname{sen}72° = \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} + 10}}{4}$ b) $\cos 18° = \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} + 10}}{4}$ （使用正弦定理， $\ell_5$ 以及上一个问题的结果）
利用余弦定理，确定半径为 $R$ 的圆内接的正八边形的边。
Ver resposta
$\ell = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$（与 $\ell_8$ 相对的圆心角测量为 45°）
使用上一题的答案并确定边长为 $\ell$ 的正八边形外接圆的半径。
Ver resposta
$R = \dfrac{\ell}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$
确定一侧为 $\ell$ 的正八边形的对角线的测量值。
Ver resposta
$\ell\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$; $\ell(\sqrt{2} + 1)$; $\ell\sqrt{2 + \sqrt{2}}$
在图中，我们有一个边长为 $\ell$ 的正十边形。确定： a) 外接圆的半径； b) 对角线$\overline{AE}$； c) 对角线$\overline{AC}$； d) 对角线 $\overline{AD}$。
Ver resposta
a) $R = \dfrac{\ell}{2}(\sqrt{5} + 1)$ · b) $AE = \ell\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$ · c) $AC = \ell_5 = \dfrac{\ell}{2}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ · d) $AD = \dfrac{\ell}{2}\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}$
在图中的三角形中，将$x$确定为$a$的函数。
Ver resposta
$x = \dfrac{a}{2}(\sqrt{5} - 1)$
在图中的三角形中，将$x$确定为$a$的函数。
Ver resposta
$x = \dfrac{a}{2}(\sqrt{5} + 1)$
确定边长为 $\ell$ 的正五边形的对角线。
Ver resposta
$d = \dfrac{\ell}{2}(\sqrt{5} + 1)$（使用上一个问题）
在图中，我们有一个边长为 $\ell$ 的正五边形。 a) 证明阴影五边形是正五边形。 b) 确定阴影五边形的边长。
Ver resposta
a) 三角形$A'AB$、$B'BC$、$C'CD$、$D'DE$和$E'EA$与底边$\overline{AB}$、…、$\overline{EA}$全等且等腰；因此 $\hat A' = \hat B' = \ldots = \hat E'$ 和 $A'B' = B'C' = \ldots = E'A'$ 的区别在于：五边形 $A'B'C'D'E'$ 是规则的。 · b) $\dfrac{\ell}{2}(3 - \sqrt{5})$（应用问题 728 两次）