Euler's Eyes
2026-10-12
度量关系和余弦定理
当角度不正确时，毕达哥拉斯定理有一个修正项。这个术语就是余弦定律。
谁发现的
该主题的度量关系在欧几里得（c. 300 BC）的几何原本中，以区域语言表示：命题II.12处理钝角的对边，并且II.13，与锐角相对。余弦形式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ 与三角函数表一起出现的时间要晚得多。波斯天文学家Jamshid al-Kashi在算术的关键中的1427中提出了它；在法国，余弦定律仍称为théorème d’Al-Kashi。 François Viète 在 1593 中用余弦编写。
故事
欧几里得没有余弦或长度数。他说，钝角对边的正方形比另外两条边的正方形之和大“一侧与另一侧投影形成的矩形的两倍”。和这个主题的关系是一样的，都是用区域来写的。
比较$a^2$和$b^2 + c^2$有一个简单的测试：只要知道三边就可以知道三角形是锐角、直角还是钝角。
在日常生活中
- **导航。**一艘船行驶 10 公里，转向 40°，再行驶 6 公里，是根据余弦定律计算出的距离港口的距离。
- **机器人。**两段机械臂的关节角度通过余弦定律计算。
- **地形。**当测量一块土地的两条边以及它们之间的角度时，第三条边不符合余弦定律。
- **体育。**分析师根据两名球员和第三名球员之间的距离以及他们之间的角度来计算传球距离。
来源： 元素，命题 II.12 · 元素，命题 II.13 · Al-Kashi (MacTutor)。
理论与结构
度量关系
Teorema锐角的对面
在任何三角形中，锐角对边的平方等于其他两条边的平方和减其中一条边与另一条边在其上的投影的乘积的两倍：
$$\hat A < 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 - 2cm.$$Teorema钝角的对边
在钝角三角形中，钝角一侧的正方形等于另外两条边的平方和加上其中一侧与另一侧在其上（或包含它的直线上）投影的乘积的两倍：
$$\hat A > 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 + 2cm.$$请参阅演示（两种情况的联合）
前导 $\overline{CD} = h_c$，相对于侧面的高度 $c$，得出：
- 在 $\triangle CDB$ 中：$a^2 = h_c^2 + (c \mp m)^2$，如果 $\hat A$ 是锐角，则带有符号 $-$；如果 $\hat A$ 是钝角，则带有符号 $+$；
- 在 $\triangle CDA$：$h_c^2 = b^2 - m^2$。
替换为：$a^2 = b^2 - m^2 + c^2 \mp 2cm + m^2$，即
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2cm \quad (1) \qquad \text{ou} \qquad a^2 = b^2 + c^2 + 2cm \quad (2).$$余弦定理
Teorema余弦定理（余弦定律）
在任何三角形中，一条边的平方等于其他两条边的平方和减去这两条边与它们形成的角度的余弦乘积的两倍：
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B, \qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.$$查看演示
如果 $\hat A$ 是锐角： 在 $\triangle CDA$、$\cos A = \dfrac{m}{b}$ 中，因此在 $m = b\cos A$ 中。替换 (1) 中：$a^2 = b^2 + c^2 - 2c\,(b\cos A)$。
**如果$\hat A$是钝角：**在$\triangle CDA$、$\cos(180^{\circ} - A) = \dfrac{m}{b}$中，即$-\cos A = \dfrac{m}{b}$和$m = -b\cos A$。替换 (2) 中：$a^2 = b^2 + c^2 + 2c\,(-b\cos A)$。
在这两种情况下，都是$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$。如果 $\hat A$ 是直的，$\cos A = 0$ 我们就依靠毕达哥拉斯定理。
认识三角形的性质
知道三角形边的尺寸，将其中最大的边称为 $a$，将另外两个边称为 $b$ 和 $c$，并记住 $|b - c| < a < b + c$，我们就认识了三角形的性质：
Resumo三角形的性质
| $a^2 < b^2 + c^2$ | 三角形 acutangle |
| $a^2 = b^2 + c^2$ | 三角形 矩形 |
| $a^2 > b^2 + c^2$ | 三角形钝角 |
示威活动紧接着之前的关系。