Euler's Eyes
2026-10-11
角平分线 定理
三角形角的角平分线将其对边分成与另外两条边成比例的部分。
谁发现的
内角平分线定理是欧几里得的几何原本的命题VI.3（c. 300 BC）。带有外部的角平分线并不存在于希腊文本中：它是由苏格兰人Robert Simson在其1756的几何原本版本中作为第六卷的“命题A”添加的，该版本是英国一个多世纪以来几何教学的基础。这两个 角平分线 与阿波罗尼乌斯圈子有关，由佩尔加的阿波罗尼乌斯（公元前 3 世纪）研究。
故事
阿波罗尼乌斯证明，与两个固定点的距离之比恒定的点形成一个圆。内、外角平分线在分割比率的两个点处切割线段，这两点是该圆的直径的端点。
欧几里得的证明使用与 角平分线 相似的方法，并依赖于上一主题中的泰勒斯定理。这是 几何原本 的结果如何相互支持的另一个示例。
在日常生活中
- **迫害。**阿波罗尼乌斯之环对追捕者以两倍于逃亡者的速度设法追上的情况作出回应：可能的交汇点形成了这个圆圈。
- 按比例划分。 角平分线 一个角上的栅栏将三角形土地的正面与其他边按比例划分。
- 照明。 在具有两个功率不同的极点的正方形中，从每个极点接收相同光的点形成一个阿波罗尼乌斯圆。
- 光学。 在镜子中，反射光线与法线形成相等的角度，其作用相当于入射光线和出射光线之间的 角平分线。
来源： 元素，命题 VI.3 · Robert Simson (MacTutor) · Apollonius (MacTutor)。
理论与结构
Teorema内部 角平分线 定理
三角形的内部 角平分线 将相对边分成（相加）线段与相邻边成比例。当 $\overline{AD}$ 为内部 角平分线、$DB = x$ 和 $DC = y$（带有 $x + y = a$）时：
$$\frac{x}{c} = \frac{y}{b}.$$演示
- 通过 $C$，我们绘制与 角平分线 $\overline{AD}$ 平行的线，它在 $E$ 处与直线 $AB$ 相交。
- 令它们为$\hat{1} = B\hat{A}D$、$\hat{2} = D\hat{A}C$、$\hat{3} = A\hat{E}C$和$\hat{4} = A\hat{C}E$。
- $\overline{CE} \parallel \overline{AD}$：$\hat{1} \equiv \hat{3}$（通讯员）和$\hat{2} \equiv \hat{4}$（内部候补）。
- 作为$\hat{1} \equiv \hat{2}$，我们有$\hat{3} \equiv \hat{4}$：$\triangle ACE$与底边$\overline{CE}$和$AE = AC = b$是等腰。
- 根据泰勒斯定理，对于横截面 $BC$ 和 $BE$ 以及梁 $AD \parallel CE$：$\dfrac{x}{y} = \dfrac{c}{b}$，即 $\dfrac{x}{c} = \dfrac{y}{b}$。
Teorema外角平分线定理
如果三角形的外角 角平分线 与对边的直线相切，则会将该边外分成与相邻边成比例的（减法）线段。以 $D$ 为该点，$DB = x$ 和 $DC = y$（与 $x - y = a$）：
$$\frac{x}{c} = \frac{y}{b}.$$如果三角形是以 $\overline{BC}$ 为底的等腰三角形，则 $A$ 中的外部 角平分线 与 $\overline{BC}$ 平行，反之亦然。
演示与上一个相同：通过$C$与外部角平分线平行，再用$AE = b$得到一个等腰三角形$ACE$，并应用Thales。