Euler's Eyes
2026-10-11
11 - 圆上的角度一章的练习
练习和决议
在下列情况下确定角度$x$的值：
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a) $35^{\circ}$ · b) $100^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$ · d) $25^{\circ}$ · e) $50^{\circ}$ · f) $20^{\circ}$
在下列情况下确定圆弧$x$的值：
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a) $80^{\circ}$ · b) $30^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$
图中，计算$x$的值。
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a) $35^{\circ}$ · b) $10^{\circ}$
图中，计算$\alpha$的值。
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a) $65^{\circ}$ · b) $50^{\circ}$
图中，计算圆弧$\overset{\frown}{ABC}$的值。
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a) $130^{\circ}$ · b) $245^{\circ}$
在图中，计算$x$。
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a) $70^{\circ}$ · b) $98^{\circ}$ · c) $150^{\circ}$
图中，用$\overset{\frown}{ABC} = 260^{\circ}$计算$\alpha$的值。
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$\alpha = 80^{\circ}$
计算$x$的值。
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a) $65^{\circ}$ · b) $112^{\circ}$
图中的圆弧$\overset{\frown}{CD}$测量为$105^{\circ}$。计算$x$的值。
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$x = 110^{\circ}$
在圆周上，圆弧 $\overset{\frown}{CFD}$ 超出圆弧 $\overset{\frown}{AEB}$ $50^{\circ}$。确定其测量值，已知角度 $\alpha$ 的测量值是 $70^{\circ}$。
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$\overset{\frown}{AEB} = 45^{\circ}$ e $\overset{\frown}{CFD} = 95^{\circ}$
图中，角度$A\hat{C}D$等于$70^{\circ}$，角度$A\hat{P}D$等于$110^{\circ}$。确定角度 $B\hat{A}C$ 的尺寸。
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$B\hat{A}C = 40^{\circ}$
计算图中的$x$：
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a) $50^{\circ}$ · b) $20^{\circ}$
计算图中的$x$：
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a) $50^{\circ}$ · b) $10^{\circ}$
如果$y = 75^{\circ}$和$\overset{\frown}{AB} = 100^{\circ}$，则计算$x$。
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$x = 55^{\circ}$
图中，$\alpha$的值是多少？
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$\alpha = 40^{\circ}$
图中，圆弧$\overset{\frown}{CMD}$等于$100^{\circ}$，圆弧$\overset{\frown}{ANB}$测量$30^{\circ}$。计算$x$的值。
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$x = 35^{\circ}$
确定角度 $\alpha$ 的大小，已知图中的 $CD = R$。
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$\alpha = 60^{\circ}$
计算图中的$x$：
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a) $80^{\circ}$ · b) $90^{\circ}$ · c) $52^{\circ}$
计算图中的$x$（b中，$ABCDE$是正五边形）：
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a) $75^{\circ}$ · b) $72^{\circ}$
图中，圆弧 $\overset{\frown}{BEC}$ 测量 $60^{\circ}$，$\overline{OB}$ 垂直于 $\overline{AC}$。确定弧度测量值 $\overset{\frown}{AFB}$ 和角度测量值 $A\hat{D}C$。
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$\overset{\frown}{AFB} = 60^{\circ}$ e $A\hat{D}C = 60^{\circ}$
确定由与三角形 $ABC$ 的边内切的圆的切点获得的三角形的角度的测量值，即 $\hat{A} = 60^{\circ}$、$\hat{B} = 40^{\circ}$ 和 $\hat{C} = 80^{\circ}$。
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$70^{\circ}$, $60^{\circ}$ e $50^{\circ}$
求图中角度$\alpha$和$\beta$之间的比率，已知直线$r$与圆在点$A$相切，圆弧$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{AC}$与数字2、9和7成正比。
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$\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{2}{7}$
在图中，确定角度 $\alpha$ 的尺寸，已知圆弧 $\overset{\frown}{AB}$ 的尺寸为 $100^{\circ}$，弦 $\overline{CD}$ 的尺寸为 $R$，其中 $R$ 是圆的半径。
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$\alpha = 80^{\circ}$
确定由外部点 $P$ 引出的两条直线与圆相割所形成的最小角度，已知这些割线确定了圆上的两条弧，其尺寸值为 $30^{\circ}$ 和 $90^{\circ}$。
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$30^{\circ}$
图中，$\overline{AB}$和$\overline{AC}$是中心圆$O$的切线，$Q$是短圆弧$\overset{\frown}{BC}$上的点。 $\overline{PQR}$ 与圆相切，$\hat{A} = 28^{\circ}$ 与圆相切。找到$P\hat{O}R$。
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$P\hat{O}R = 76^{\circ}$
图中， $\overline{AB}$ 是直径，弦 $\overline{AM}$ 是内切等边三角形的边， $\overline{BN}$，内切正方形的边。计算角度 $\alpha$，由切线形成 $\overline{PM}$ 和 $\overline{PN}$.
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$\alpha = 30^{\circ}$
确定测量值 $x$ 和 $y$。
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$x = 105^{\circ}$ e $y = 55^{\circ}$
让我们考虑一个内接于圆的 等边三角形 $ABC$。确定该圆在点 $A$ 和 $B$ 处的切线形成的最小角度。
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$60^{\circ}$
在以下情况下确定$x$的值：
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a) $160^{\circ}$ · b) $80^{\circ}$
证明，如果 $\overset{\frown}{AB}$ 和 $\overset{\frown}{CD}$ 是圆上等长的弧，则弦 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 相等。
看书上的解决办法
以 $O$ 为中心，考虑三角形 $AOB$ 和 $COD$：$OA = OB = OC = OD$（半径）和 $A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D$（因为 $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$）。在 LAL 情况下，它们是一致的，因此 $\overline{AB} \equiv \overline{CD}$。倒数也是有效的。
证明与圆相割的不同平行线在圆上确定在平行线之间具有相同大小的弧。
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连接相反的点（每个平行线各一个）并使用内切角：交替的角度是全等的，因此它们看到的弧也是全等的。
证明圆内切梯形是等腰。
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使用练习407和406：平行底确定它们之间的等弧，并且等弧具有相等的弦（不平行的边）。
设 $r$ 和 $R$ 分别为直角三角形 $a$ 和 $b$ 的内切圆和外切圆的半径。证明$a + b = 2(R + r)$。
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斜边是外接圆（$c = 2R$）和$r = \dfrac{a + b - c}{2}$的直径；标志 $a + b = 2r + c = 2(R + r)$。
证明直角三角形的内接圆和外接圆的直径之和等于该三角形的边之和。
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请参阅练习 409：$2r + 2R = a + b$。
如果三角形的边$\overline{AB}$和$\overline{AC}$是两个圆的直径，证明两个圆的另一个公共点在$\overline{BC}$处。
看书上的解决办法
令 $P$ 为另一个交点。三角形 $APB$ 和 $APC$ 内接于半圆，因此它们是矩形：$A\hat{P}B$ 和 $A\hat{P}C$ 是直的。因此$\overrightarrow{PB}$和$\overrightarrow{PC}$是相反射线，即$P$在$\overline{BC}$中。
设 $ABC$ 为锐角三角形，$H_1$、$H_2$、$H_3$ 为高脚。证明三角形$ABC$的垂心$H$是三角形$H_1H_2H_3$的内心。
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$A\hat{B}H_2 \equiv A\hat{C}H_3$（分别为垂直边）； $A\hat{B}H_2 \equiv A\hat{H_1}H_2$（考虑直径圆 $\overline{AB}$ 中的圆弧 $AH_2$）和 $A\hat{C}H_3 \equiv A\hat{H_1}H_3$（直径圆 $\overline{AC}$ 中的圆弧 $AH_3$）。因此$\overline{H_1A}$是$H_2\hat{H_1}H_3$的角平分线；其他顶点也是如此。