Euler's Eyes
2026-10-11
内切角
内切角等于他所看到的弧的一半。泰勒斯提出了一种特殊情况——半圆内切角是直角。
谁发现的
希腊传统归因于米利都传说（公元前六世纪）发现半圆内切的每个角都是正确的。 第欧根尼·拉埃西奥引用作家潘菲拉的话说，泰勒斯牺牲了一头牛来庆祝这一结果。一般关系——圆心角是同一条弧上内切角的两倍——就是欧几里德的几何原本的命题III.20，半圆的情况就是III.31。
故事
在德语和英语中，“泰勒斯定理”（Satz des Thales）正是半圆中的角度的定理，而不是我们将在第 12 章中研究的平行线的定理。牛的故事来自一位比泰勒斯晚八个世纪的作家，但它表明希腊人认为这一结果是一项了不起的成就。
欧几里得的证明追踪通过内切角顶点的直径，并使用由半径形成的 等腰三角形。同样的推理得出命题 III.22：在内接四边形中，对角之和为 180°。
在日常生活中
- **找到圆盘的中心。**将正方形的角靠在边缘上，并标记侧面与圆相切的位置：该线段是直径。在其他地方重复；两个直径的交点是中心。
- **剧院和电影院。**同一圆弧上的座位从同一角度观看舞台。
- **摄影。**为了使两座建筑物从同一角度出现，摄影师可以沿着穿过它们的弧线移动。
- 足球。 从相同角度看到球门开口的点位于圆周弧上。
来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 III.20 · 元素，命题 III.31。
理论与结构
Definição内切角
内切角是圆上的顶点和与圆相切的边所成的角。 $A\hat{V}B$中，圆弧$\overset{\frown}{AB}$为对应的圆弧，$A\hat{O}B$为对应的圆心角。
Teorema内切角的测量
内切角测量相应圆心角的一半，即相应弧的一半：
$$\alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{\overset{\frown}{AB}}{2}.$$演示（三例）
- 第一种情况 - $O$ 在角的一侧。 $OV = OA$（射线），因此 $\triangle OVA$ 是等腰，$\hat{V} = \hat{A} = \alpha$ 。由于$\beta$是该三角形的外角，因此$\beta = \hat{A} + \hat{V} = 2\alpha$。
- 第二种情况 - $O$ 在角度内部。 让 $C$ 为 $V$ 的直径的另一个极端。对于第一种情况，$\beta_1 = 2\alpha_1$（在$A\hat{V}C$中）和$\beta_2 = 2\alpha_2$（在$C\hat{V}B$中）。添加：$\beta = 2\alpha$。
- 第 3 种情况 — $O$ 在角度外部。 具有相同的直径 $\overline{VC}$，第一种情况是 $\beta_1 = 2\alpha_1$ 和 $\beta_2 = 2\alpha_2$；减去：$\beta = \beta_1 - \beta_2 = 2(\alpha_1 - \alpha_2) = 2\alpha$。
- 在所有情况下，$\alpha = \dfrac{\beta}{2}$，并且像$\beta = \overset{\frown}{AB}$一样，我们有$\alpha = \dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2}$。
Teorema半圆内切角
每个直角都内接于半圆，反之，每个内接于半圆且边经过两端的角都是直角。特别是，一个内切于半圆且一侧等于直径的三角形是矩形。
事实上，如果$A\hat{V}B = 90^{\circ}$，则对应的弧测量为$180^{\circ}$；如果 $\overline{AB}$ 是直径，则 $\overset{\frown}{AB} = 180^{\circ}$ 给出 $A\hat{V}B = 90^{\circ}$。使用上图中的“AB 直径”按钮。
可内接四边形
Teorema内接四边形
顶点在圆中的四边形内接在其中。
a) 如果凸四边形内接于圆，则其对角互补：$\hat{A} + \hat{C} = \hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$。
b) **倒数：**如果凸四边形具有互补的对角，则它是可内接的。
因此，对角互补是凸四边形可内接的充要条件。
查看演示
a) $\hat{A}$ 已注册并看到弧 $\overset{\frown}{BCD}$: $\hat{A} = \dfrac{\overset{\frown}{BCD}}{2}$。同样，$\hat{C} = \dfrac{\overset{\frown}{DAB}}{2}$。添加，$\hat{A} + \hat{C} = \dfrac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$。由于四个角度之和为$360^{\circ}$，因此也是$\hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$。
b) 如果 $ABCD$ 不可内接，则通过 $A$、$B$ 和 $C$ 的圆 $\lambda$ 将不会通过 $D$。令$E$为直线$CD$与$\lambda$的交点；然后输入 $ABCE$ 和 $\hat{B} + \hat{E} = 180^{\circ}$。根据 $\hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$ 假设，$\hat{D} = \hat{E}$ 将会出现——这对于 $\triangle ADE$ 中的外角定理来说是荒谬的。