如今，以度为单位测量弧度已变得非常自然，以至于我们忘记了它的来源：通过观察天空。

谁发现的

巴比伦天文学家将太阳在天空中的路径分为 12 个星座和 30 个星座，总计为 360 个星座。希腊人Hyparchus of Nicaea（公元前2世纪）将这种测量应用到几何学中，并创建了第一个已知的和弦表，它将每条弧与相应的和弦联系起来——三角学的开端。 Claudius Ptolemy 扩展了Almagest（约150 AD）中的表格，使用半度和弦。同圆弧的比较和求和遵循欧几里得的几何原本第三卷。

尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。
尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域
克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。
克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

对于古代天文学家来说，天空是一个围绕地球旋转的大球体，星星的位置是其上方的弧线。添加弧线、比较它们并了解两者何时相等是制作日历和预测日食的人们的日常工作。

天文学家在伊斯坦布尔塔基丁天文台研究 16 世纪的奥斯曼细密图。星盘和浑天仪等仪器测量天空的弧度。
天文学家在伊斯坦布尔塔基丁天文台研究 16 世纪的奥斯曼细密图。星盘和浑天仪等仪器测量天空的弧度。欧拉之眼博客的集合。

托勒密的桌子已经使用了一千多年。印度数学家用 正弦 替换了字符串，这对于计算来说更实用，而伊斯兰世界的天文学家（例如伊斯坦布尔天文台的天文学家）采用并改进了这些表格。 sine 这个词是通过阿拉伯语 jiba 的误译而传入拉丁语的。

在日常生活中

  • **时钟。**表盘被分成12等30°的弧；时针每小时移动一次。
  • 时区。 地球以 24 小时自转 360°，每小时 15°：理论上，每个时区对应于经度 15° 的弧线。
  • **罗盘。**基点和旁点将圆周划分为 45° 的弧。
  • 披萨和馅饼。 切成 8 个相等的切片是将边缘划分为 45° 的 8 个全等弧。

来源： Hiparchus (MacTutor) · 托勒密 (MacTutor) · Taqi al-Din（维基百科）。

理论与结构

如果两个圆的半径相等，则它们全等。在以 $O$ 为圆心的圆中，通过确定圆弧的圆心角来比较圆弧：

Definição全等弧、和与不等式

$$\overset{\frown}{AB} \equiv \overset{\frown}{CD} \iff A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D, \qquad \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{CB} \iff A\hat{O}B = A\hat{O}C + C\hat{O}B,$$

$$\overset{\frown}{AB} > \overset{\frown}{CD} \iff A\hat{O}B > C\hat{O}D.$$

这些概念也适用于全等圆的弧，并适用于扇形和圆弧段。