Euler's Eyes
2026-10-11
垂心 — 高度
三角形的三个高度也交于一点，垂心。有趣的是，欧几里得从未证明过这一点。
谁发现的
几何原本 并不表明高度是并发的。第一个已知的公开演示是由英国人 William Chapple 在 1749 中进行的。然而，被引用最多的是 Carl Friedrich Gauss (1810)：他为每个顶点绘制了与对边的平行线，形成了一个更大的三角形；原始三角形的高度成为较大三角形的垂直平分线，因此相交。 垂心 这个名字（源自希腊语 orthos，“直”）是在 19 世纪才创建的。
故事
高斯的证明是一个很好的例子，说明如何将一个新问题简化为一个已经解决的问题：他没有直接研究高度，而是将它们转化为垂直平分线，欧几里得已经证明了其竞争。
垂心 有一个奇怪的行为：它在锐角三角形内部，与直角三角形中的直角顶点重合，在钝角三角形中位于外部。在 1765 中，Leonhard Euler 发现它与 重心 和 外心 对齐，如下面好奇的“欧拉直线”中所述。
在日常生活中
- **屋顶和坡道的高度。**三角形的高度是现场测量的垂直距离；山墙（三角形墙）的面积使用底乘高。
- **土地面积。**测量员通过降低选定作为底边的高度来计算三角形地块的面积。
- **直角三角形。**在正方形中，其中两个高度是垂直边本身，垂心 是直角。
- **桁架。**在三角形结构中，垂直于一侧的支柱遵循三角形的高度。
来源： 高斯 (MacTutor) · 欧拉 (MacTutor)。
理论与结构
Teorema来自高处的竞争
支撑三角形高度的三条直线相交于同一点。
演示
- 通过顶点$A$、$B$和$C$，我们绘制与相对边平行的直线，得到一个更大的三角形$MNP$，其中包含$A \in \overline{NP}$、$B \in \overline{MP}$和$C \in \overline{MN}$。
- $APBC$和$ABCN$是平行四边形，因此$AP = BC = AN$:$A$是$\overline{NP}$的中点。
- 与 $\overline{AH_1} \perp \overline{BC}$ 和 $\overline{NP} \parallel \overline{BC}$ 一样，线 $AH_1$ 通过中点垂直于 $\overline{NP}$：它是 $\overline{NP}$ 的 垂直平分线。
- 同样，$BH_2$和$CH_3$是$\overline{MP}$和$\overline{MN}$的垂直平分线。
- 垂直平分线 和 $\triangle MNP$ 是并发的（第 III 部分）。因此，$\triangle ABC$的高度线穿过同一点$H$。
Definição垂心
直线高度支撑的交汇点是垂心。
Resumo四个值得注意的点
| 观点 | 会议 | 财产 | 位置 |
|---|---|---|---|
| 重心 $G$ | 中位数 | 将中位数分为 $2 : 1$；重心 | 总是内在的 |
| 内心 $I$ | 角平分线 内部 | 距两侧等距；登记中心 | 总是内在的 |
| 外心 $O$ | 垂直平分线 | 距顶点等距；区中心 | 内部（直角）、斜边（矩形）的中点、外部（钝角） |
| 垂心 $H$ | 高度 | — | 内角（直角）、直角顶点（矩形）、外角（钝角） |