Euler's Eyes
2026-10-11
重心 — 中位数
三角形的三个中线交汇于一点：重心，其中三角板在指尖上保持平衡。
谁发现的
锡拉丘兹的阿基米德（c. 287–212 BC）是链接到 重心 的名称。在论平面平衡中，他证明了三角形的重心位于连接顶点和对边中点（中线）的直线上，因此位于三个中线的交点处。 重心 这个词的出现要晚得多：它源自希腊语 barys，意为“重”，并于 19 世纪由德国人 August Möbius 在重心微积分一书中使用。 (1827)。
故事
阿基米德的推理混合了几何学和物理学。他想象将三角形切成与一侧平行的非常细的条带；每个范围的中心位于其中点，并且所有这些中点都位于中位数上。然后整个三角形就在它上面保持平衡。重复另一个中位数的论证，平衡点必须是两者的交点。
本主题中演示的每个中位数除以比率 2 : 1 是同一平衡点的另一个结果。他的这句话——“给我一个支撑点，我将撬动世界”——谈论的是杠杆，但表现出同样的兴趣：将平衡问题转化为几何问题。
在日常生活中
- **手指上的平衡。**厚度均匀的三角形纸板恰好放在 重心 上时保持平衡。
- 手机。 像 Alexander Calder 这样的艺术家将每件作品悬挂在重心上，使其保持在所需的位置。
- **汽车和卡车。**工程师计算车辆的重心；越低，翻倒的风险就越低。
- 携带一个托盘。 携带完整三角形托盘的人将手放在靠近中心的位置，以免掉落任何东西。
来源： 阿基米德 (MacTutor) · 莫比乌斯 (MacTutor)。
理论与结构
Teorema来自中位数的竞争
三角形的三个中线相交于同一点，这将每个中线分为两部分，使得包含顶点的部分是另一个部分大小的两倍：
$$\overline{AM_1} \cap \overline{BM_2} \cap \overline{CM_3} = \lbrace G \rbrace, \qquad AG = 2 \cdot GM_1,\quad BG = 2 \cdot GM_2,\quad CG = 2 \cdot GM_3.$$演示
- 设$X$为中位数$\overline{BM_2}$和$\overline{CM_3}$的交点，$D$、$E$为$\overline{BX}$和$\overline{CX}$的中点。
- 在$\triangle ABC$中，$\overline{M_3M_2}$是平均碱基：$\overline{M_3M_2} \parallel \overline{BC}$和$M_3M_2 = \dfrac{BC}{2}$。
- 在$\triangle XBC$中，$\overline{DE}$是平均碱基：$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$和$DE = \dfrac{BC}{2}$。
- 因此$\overline{M_3M_2}$和$\overline{DE}$平行且全等：$M_3M_2ED$是平行四边形，其对角线切成两半：$DX = XM_2$和$EX = XM_3$。
- 然后是$BX = BD + DX = 2 \cdot XM_2$和$CX = 2 \cdot XM_3$。
- 重复中位数 $\overline{AM_1}$ 和 $\overline{CM_3}$，我们得到点 $Y$ 和 $CY = 2 \cdot YM_3$。由于$X$和$Y$以相同的比例除$\overline{CM_3}$，因此$X = Y = G$：三个中位数通过$G$。
Definição重心
三个中线的交点是三角形的 重心 $G$。从顶点开始的每个中位数为$\dfrac{2}{3}$：$GM_1 = \dfrac{1}{3}AM_1$、$GM_2 = \dfrac{1}{3}BM_2$、$GM_3 = \dfrac{1}{3}CM_3$。 重心 是三角形的重心。