Euler's Eyes
2026-10-11
7 章中的练习——著名的四边形
练习和决议
在以下情况下确定$x$的值：
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a) $x = 120^{\circ}$ · b) $x = 75^{\circ}$
确定以下情况下四边形 $ABCD$ 的角度：
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a) $130^{\circ}$, $70^{\circ}$, $95^{\circ}$, $65^{\circ}$ · b) $55^{\circ}$, $105^{\circ}$, $70^{\circ}$, $130^{\circ}$
确定以下情况下$x$的值： a) $PA = PB$； b) $AB = AD$ 和 $CB = CD$。
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a) $x = 35^{\circ}$ · b) $x = 70^{\circ}$
如果$\overline{AP}$和$\overline{BP}$为角平分线，则在以下情况下确定$x$：
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a) $x = 70^{\circ}$ · b) $x = 100^{\circ}$
若$\overline{AP}$和$\overline{BP}$为角平分线，则确定： a) $\hat{C} + \hat{D}$； b) $\hat{C}$，比 $\hat{D}$ 超出 $10^{\circ}$。
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a) $\hat{C} + \hat{D} = 220^{\circ}$ · b) $\hat{C} = 125^{\circ}$
如果$\overline{BP}$、$\overline{AP}$、$\overline{CQ}$和$\overline{DQ}$为角平分线，则确定$x + y$。
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$x + y = 180^{\circ}$
如果$ABCD$是底边$\overline{AB}$和$\overline{CD}$的梯形，则确定$x$和$y$。
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a) $x = 80^{\circ}$, $y = 105^{\circ}$ · b) $x = 125^{\circ}$, $y = 70^{\circ}$
$ABCD$ 是底边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 的梯形。如果$\overline{DP}$和$\overline{CP}$是角平分线，则确定$x$和$B\hat{C}D$。
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$x = 140^{\circ}$ e $B\hat{C}D = 40^{\circ}$
如果梯形$ABCD$是底边$\overline{AB}$和$\overline{CD}$的等腰，则确定$\hat{A}$。
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$\hat{A} = 115^{\circ}$
如果$ABCD$与$\hat{A} = 2x$和$\hat{C} = x + 70^{\circ}$是平行四边形，则确定$\hat{B}$。
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$\hat{B} = 40^{\circ}$
由于 $ABCD$ 是平行四边形，因此 $\overline{AP}$ 角平分线、$AB = 7$ cm 和 $PC = 3$ cm 确定平行四边形的周长。
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34 厘米
如果$ABCD$是平行四边形，则$AD = 20$厘米，$BQ = 12$厘米和$BP = BQ$，确定该平行四边形的周长。
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56 厘米
练习 236 — 分类为真 (V) 或假 (F)
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每个矩形都是平行四边形。
Verdadeiro. 对角全等。
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每个平行四边形都是一个矩形。
Falso. 角度可能不正确。
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每个正方形都是长方形。
Verdadeiro. 它有四个全等角。
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每个长方形都是正方形。
Falso. 侧面可以不同。
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每个平行四边形都是菱形。
Falso. 侧面可以不同。
-
每个正方形都是菱形。
Verdadeiro. 它有四个全等的侧面。
练习 237 — 分类为真 (V) 或假 (F)
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每个有两条全等边的长方形都是正方形。
Falso. 任何矩形的对边都已经全等；需要两个相邻边。
-
任何具有两个相邻全等边的平行四边形都是菱形。
Verdadeiro. 有了对立面，四者就相等了。
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如果平行四边形有两个连续全等的顶角，则它是矩形。
Verdadeiro. 连续词是补充词；平等，他们都是直的。
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如果四边形的两个对角相等，则它是平行四边形。
Verdadeiro. 根据这本书（考虑具有两对全等对立面的凸四边形）。
练习 238 — 分类为真 (V) 或假 (F)
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如果四边形的两条边全等，则它是平行四边形。
Falso. 风筝（三角肌）是一个反例。
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如果四边形的两条对边相等，则它是平行四边形。
Falso. 等腰梯形就是一个反例。
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如果四边形的两条对边全等且平行，则它是平行四边形。
Verdadeiro. 这是两条平行全等边的定理。
练习 239 — 分类为真 (V) 或假 (F)
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菱形的对角线全等。
Falso. 只在广场上。
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长方形的对角线互相垂直。
Falso. 只在广场上。
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矩形的对角线是其角度的 角平分线。
Falso. 只在广场上。
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平行四边形的对角线是其角度的 角平分线。
Falso. 仅限于钻石。
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正方形的对角线是其角度的 角平分线 且相互垂直。
Verdadeiro. 正方形是菱形。
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如果四边形的对角线是其内角的角平分线，那么它是菱形。
Verdadeiro. 所形成的三角形全等且边相等。
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如果四边形的对角线垂直，则它们是其角度的 角平分线。
Falso. 风筝有垂直的对角线，只有一条是 角平分线。
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如果四边形的对角线相等且垂直，那么它是正方形。
Falso. 他们还需要把自己切成两半。
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如果四边形的对角线为角平分线且全等，则它是正方形。
Verdadeiro. 对角线全等的菱形。
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如果四边形的一条对角线的两个角度都是 角平分线，则它垂直于另一条对角线。
Verdadeiro. 所形成的两个三角形全等（ALA），图形对称。
已知底边超出高度 4 厘米，计算周长为 40 厘米的矩形的边长。
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12 厘米和 8 厘米
确定矩形的底和高，已知周长为 288 米，且底超过高度的三倍 4 米。
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底座 109 米，高度 35 米。
计算平行四边形的边长，已知其周长为 84 m，较小边的总和表示较长边总和的 $\dfrac{2}{5}$。
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30 m e 12 m
平行四边形的两个对角之和等于另外两个对角之和的$\dfrac{5}{13}$。确定它们。
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$50^{\circ}$, $130^{\circ}$, $50^{\circ}$ e $130^{\circ}$
确定平行四边形角度的大小，已知两个连续平行四边形之间的差等于它们的角度和的 $\dfrac{1}{9}$。
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$70^{\circ}$, $110^{\circ}$, $70^{\circ}$ e $110^{\circ}$
证明平行四边形的两个连续角的 角平分线 成直角。
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两个连续的角度相加为$180^{\circ}$；它的两半加起来是$90^{\circ}$，在角平分线形成的三角形中，第三个角是$90^{\circ}$。 （有两个互补角的三角形是直角。）
在矩形梯形中，直角的角平分线与梯形的锐角的角平分线形成$110^{\circ}$的角。确定梯形的最大角。
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$130^{\circ}$
菱形的对角线与其一侧形成的角等于直线的三分之一。确定菱形的四个角。
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$60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$ e $120^{\circ}$
菱形的钝角角平分线使得其中一条边的角度为$55^{\circ}$。确定锐角的值。
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$70^{\circ}$
等腰梯形的最大底边尺寸为 12 厘米，最小底边尺寸为 8 厘米。已知周长为 40 厘米，计算非平行边的长度。
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10 厘米
等腰梯形的一个内角是相邻外角的 $\dfrac{2}{7}$。确定梯形的四个角。
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$40^{\circ}$, $40^{\circ}$, $140^{\circ}$ e $140^{\circ}$
梯形的两个连续角的和等于$78^{\circ}$，它们的差为$4^{\circ}$。确定梯形的最大角。
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$143^{\circ}$
确定梯形内部 角平分线 所形成的角度的大小，其中两个连续锐角的大小为 $80^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$。
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$70^{\circ}$, $110^{\circ}$, $90^{\circ}$, $90^{\circ}$, $160^{\circ}$ e $160^{\circ}$
我们用一根 36 米长的电线构建一个 等边三角形，然后用同样的电线构建一个正方形。确定三角形边与正方形边的比率。
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$\dfrac{4}{3}$
如果$ABCD$是平方且$ABP$是等边三角形，则在以下情况下确定$x$：
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a) $x = 75^{\circ}$ · b) $x = 15^{\circ}$
考虑到具有“等号”的线段是全等的，确定这种情况下的未知数的值：
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a) $x = 5$ · b) $x = 6$ e $y = \dfrac{19}{2}$
在边为 $AB = 9$、$BC = 14$ 和 $AC = 11$ 的三角形 $ABC$ 中，点 $D$、$E$ 和 $F$ 分别是 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 的中点。计算三角形 $DEF$ 的周长。
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17
计算三角形 $ABC$ 的周长，其中 $MN = 7$ cm、$NR = 4$ cm 和 $MR = 8$ cm，以及边 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 的中点分别为 $M$、$N$、$R$。
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38 厘米
证明任意四边形各边的中点都是平行四边形的顶点。
看书上的解决办法
设$ABCD$为四边形，$M$、$N$、$P$和$Q$为$\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$和$\overline{DA}$的中点。按平均基数：
$$\triangle ABC:\ \overline{MN} \parallel \overline{AC},\ MN = \frac{AC}{2} \qquad \triangle DAC:\ \overline{PQ} \parallel \overline{AC},\ PQ = \frac{AC}{2}.$$因此$\overline{MN} \parallel \overline{PQ}$和$MN = PQ$：$MNPQ$是平行四边形。
凸四边形的对角线必须满足什么条件，其边的中点才能成为菱形的顶点？还有一个长方形？
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菱形：全等对角线。矩形：垂直的对角线。
凸四边形的对角线必须满足什么条件，其边的中点才能成为正方形的顶点？
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一致且垂直。
令$ABCD$为具有较大底$\overline{AB}$和较小底$\overline{CD}$的梯形，$M$为边$\overline{AD}$的中点，$N$为$\overline{BC}$边的中点。点$P$和$Q$是$\overline{MN}$与对角线$\overline{AC}$和$\overline{BD}$的交点。给定 $AB = a$ 和 $CD = b$，计算 $MN$、$MP$、$MQ$、$NP$、$NQ$ 和 $PQ$。
看书上的解决办法
由于$\overline{MN}$是梯形的中底，所以与底边平行；因此 $P$ 和 $Q$ 是 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BD}$ 的中点。使用平均三角形和梯形底：
$$MN = \frac{a + b}{2};\quad MP = \frac{b}{2};\quad MQ = \frac{a}{2};\quad NP = \frac{a}{2};\quad NQ = \frac{b}{2};\quad PQ = MQ - MP = \frac{a - b}{2}.$$梯形的平均底为 20 厘米，最大底为最小底的 $\dfrac{3}{2}$。确定依据。
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16 厘米和 24 厘米
在梯形中，给出了底边 $AB = 20$ cm 和 $CD = 12$ cm。考虑对角线 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BD}$ 的中点 $P$ 和 $Q$，然后考虑边 $\overline{BC}$ 和 $\overline{AD}$ 的中点 $R$ 和 $S$。计算段$PR$、$RQ$和$RS$。
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$PR = 10$ 厘米、$RQ = 6$ 厘米和 $RS = 16$ 厘米
考虑到具有“等号”的线段是全等的，确定情况下未知数的值：
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a) $x = 4$ · b) $x = 3$, $y = 4$ · c) $x = 10$, $y = 13$, $z = 19$ · d) $x = 20$, $y = 6$
在锐角为 $45^{\circ}$ 的矩形梯形中，高度等于底边差。
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角为 $45^{\circ}$ 的直角三角形是等腰三角形：通过较小底边的顶点绘制高度。
证明具有锐角 $30^{\circ}$ 的矩形梯形的高度等于不垂直于底边的一半。
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与 $30^{\circ}$ 角相对的一侧是斜边的一半（使用 等边三角形）。
证明平行四边形的钝角 角平分线 平行。
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使用他们确定的平行四边形。
证明矩形对角线所成的角角平分线与矩形的边平行。
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使用邻角和补角。
在等腰梯形 $ABCD$ 中，较小的底边 $\overline{AB}$ 与非平行边全等。证明梯形的角$\hat{C}$和$\hat{D}$的对角线是角平分线。
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使用 等腰三角形。
在平行四边形 $ABCD$ 中，我们绘制它的对角线 $\overline{AC}$。通过顶点 $B$ 和 $D$，我们绘制垂直于对角线 $\overline{AC}$ 的两条线段 $\overline{BP}$ 和 $\overline{DQ}$，$P$ 和 $Q$ 在 $\overline{AC}$ 中。证明 $\overline{BP}$ 与 $\overline{DQ}$ 全等。
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使用 LAAₒ。
通过 等腰三角形 $ABC$ 的底 $\overline{BC}$ 的中点 $M$，我们分别绘制与三角形的边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 平行的线段 $\overline{MP}$ 和 $\overline{MQ}$。证明$APMQ$是菱形。
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使用三角形的中间底边。
让我们考虑一个具有两个对角直角的凸四边形。证明四边形另外两个内角的角平分线是互相平行的射线。
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使用三角形、四边形和对应角的角度之和。
图中，$ABCD$是一个正方形，其中$BC + CE = AE$。由于$F$是$\overline{DC}$的中点，证明$B\hat{A}E = 2F\hat{A}D$。
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将 $E$ 与 $\overline{BC}$ 的中点连接起来，延伸直到找到 $\overleftrightarrow{AB}$ 并使用同余。