Euler's Eyes
2026-10-11
后果——中等基础
连接三角形两条边的中点：该线段平行于第三条边并测量第三条边的一半。
谁发现的
中基定理是欧几里德的几何原本的命题VI.2的特例：平行于三角形一条边的直线以相同的比例分割另外两条边。一位著名作者得出了一个美丽的结论：法国人 Pierre Varignon (1654–1722) 表明，连接任何四边形的边的中点，总是可以获得一个平行四边形。结果在他去世后发表在1731中。
故事
瓦里尼翁是巴黎的一位牧师、数学教授，也是法国莱布尼茨微积分的第一批捍卫者之一。 “瓦里尼翁平行四边形”是平均底边的直接应用：它的每条边都是由四边形的对角线形成的三角形的平均底边。
梯形的平均底边，等于底边的平均值，解释了海伦记录的梯形面积的公式：底边的平均值乘以高度。
在日常生活中
- **梯子。**在向上变窄的楼梯上，中间的台阶测量第一个和最后一个台阶之间的平均值。
- **梯形书架。**在侧面倾斜的书柜中，中间的书架是底部和顶部宽度的平均值。
- 屋顶剪刀。 连接两个屋顶中点的水平件尺寸为跨度的一半，并与底座平行。
- 绘图中的中点。 在绘图程序中，以任何方式连接中点都会生成平行四边形，正如 Varignon 所预测的那样。
来源： 元素，命题 VI.2 · Varignon (MacTutor)。
理论与结构
Teorema三角形的中底
a) 如果线段的端点位于三角形两条边的中点，则它与第三条边平行，并且测量其一半：
$$(AM = MB,\ AN = NC) \Rightarrow \overline{MN} \parallel \overline{BC} \ \text{ e } \ MN = \frac{BC}{2}.$$b) **倒数：**如果平行于一侧的线段的一端位于另一侧的中点，另一端位于第三侧，则该端是第三侧的中点。
查看演示
通过$C$，我们画一条与$\overleftrightarrow{AB}$平行的线，它在$D$处切割了线$MN$。然后 $\hat{C} \equiv \hat{A}$（交替）；与 $AN = CN$ 和 o.p.v.在 $N$ 中，由 ALA，$\triangle AMN \equiv \triangle CDN$。所以$CD = AM = MB$和$MN = DN$。由于$\overline{CD}$和$\overline{MB}$平行且全等，因此$MBCD$是平行四边形：$\overline{MD} \parallel \overline{BC}$和$MD = BC$。标志 $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ 和 $MN = \dfrac{MD}{2} = \dfrac{BC}{2}$。相反的情况来自于平行假设：$\overline{BC}$ 与 $M$ 的平行是唯一的。
Teorema斜方肌中底
a) 如果线段的端点位于梯形的非平行边的中点，则它与底边平行并测量其半边：
$$MN = \frac{AB + CD}{2}.$$b) **倒数：**与底边平行的线段，其一端位于另一边的中点，另一端位于另一边的中点。
查看演示
令 $E$ 为直线 $DN$ 和 $AB$ 的交点。如$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$、$\hat{B} \equiv \hat{C}$；与 $BN = CN$ 和 o.p.v.在 $N$ 中，由 ALA、$\triangle BEN \equiv \triangle CDN$：$EN = DN$ 和 $BE = CD$。在$\triangle ADE$处，$M$和$N$是$\overline{AD}$和$\overline{DE}$的中点。通过三角形的中间底边，$\overline{MN} \parallel \overline{AE}$ 和 $MN = \dfrac{AE}{2} = \dfrac{AB + BE}{2} = \dfrac{AB + CD}{2}$。