对角线可以告诉我们很多关于四边形的信息。在矩形内，它们相等；在菱形中，垂直；在广场上，两者。

谁发现的

广场对角线上最著名的文献是巴比伦石板YBC 7289，大约来自公元前1800–1600，今天在耶鲁大学。它显示一个带有对角线的正方形，值为 $\sqrt{2}$，误差小于百万分之一。矩形和菱形的对角线的性质源自欧几里德的几何原本的平行四边形定理。

欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

写在平板电脑上的数字以 60 为基数，为 1；24,51,10，即 $1 + \tfrac{24}{60} + \tfrac{51}{60^2} + \tfrac{10}{60^3} \approx 1{,}414213$。没有人确切知道抄写员是如何计算的；一个假设是他们使用了一种逐次逼近的方法，现在的名称为 Heron。

亚历山大的苍鹭，后来的艺术表现。
亚历山大的苍鹭，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域

希腊人后来发现正方形的对角线和边没有共同的度量——这是 $\sqrt{2}$ 不是分数的第一个已知证明。毕达哥拉斯学派的这一发现改变了我们对数字和长度的思考方式。

在日常生活中

  • 检查正方形。 瓦工和木匠测量形状、门或绘画的两条对角线：如果它们相同，则平行四边形是矩形。
  • 栅栏和栏杆。 金属丝网形成菱形；垂直的对角线允许画布拉伸而不会撕裂。
  • **风筝。**风筝的交叉枝条是垂直的对角线。
  • **A4纸。**边之间的比例为$\sqrt{2}$，与正方形的对角线相同：对折，纸张保持其形状。

来源： YBC 7289 和 2 的根 (MacTutor) · 元素，命题 I.34。

理论与结构

除了平行四边形的性质外，每一个都有其特有的性质。

Teorema长方形：对角线全等

a) 在每个矩形中，对角线都是全等。

b) 倒数： 每个具有全等对角线的平行四边形都是矩形。

Teorema菱形：垂直对角线

a) 每个菱形都有垂直的对角线。

b) 倒数： 每个具有垂直对角线的平行四边形都是菱形。

查看演示

矩形。 在矩形（平行四边形）中，$BC = AD$；与$\hat{A} \equiv \hat{B}$和$\overline{AB}$共同，由LAL、$\triangle ABC \equiv \triangle BAD$和$AC = BD$。相反，LLL 给出 $\triangle ABC \equiv \triangle BAD$，因此 $\hat{A} \equiv \hat{B}$；但$\hat{A}$和$\hat{B}$是旁支（补品），所以都是直的——所以是对数。

菱形。 在菱形（平行四边形）中，对角线在 $M$ 处相互平分。通过LLL，四个三角形$AMB$、$AMD$、$CMB$、$CMD$全等，$M$中的角全等且互补：直角。在倒数中，LAL 给出四个全等三角形，并且 $AB = AD = BC = CD$。

正方形。 每个正方形都是长方形，也是菱形。因此，除了平行四边形的属性之外，它还具有全等且垂直的对角线：

$$ABCD \text{ é quadrado} \iff ABCD \text{ é paralelogramo},\ AC = BD,\ AC \perp BD.$$

Resumo通过对角线识别

如果凸四边形有对角线：

切成两半 全等 垂直 是这样
是的 — — 平行四边形
是的 是的 — 长方形
是的 — 是的 钻石
是的 是的 是的 正方形
使用对角线构建四边形：拖动末端并观察分类变化。这些按钮使每个案例准备就绪。
日常生活中的正方形。
日常生活中的正方形。
到处都是矩形。
到处都是矩形。
钻石。
钻石。