Euler's Eyes
2026-10-11
平行四边形的性质
对边相等，对角相等，对角线一分为二。平行四边形是力和铰接机构的图形。
谁发现的
第一个属性位于欧几里得（c. 300 BC）的几何原本的命题I.34中：在平行四边形中，相对边和角度相等，对角线将其分为同一区域的两个部分。在几何之外，平行四边形因平行四边形力法则而闻名，该法则由佛兰德斯西蒙·斯蒂文 (1586) 使用，并由艾萨克·牛顿 在原理 (1687) 中阐明：两个作用在一点上的力相当于它们形成的平行四边形的对角线。
故事
欧几里得的证明绘制了一条对角线，并使用平行线和 ALA 情况之间的交替角度来比较形成的两个三角形。该线程遵循的脚本相同。
受电弓由 Christoph Scheiner 在 1603 左右发明，使用形成平行四边形的铰接杆将图纸复制到另一个比例：当平行四边形变形时，相对的边保持平行。在铰接式灯具和机器机构中也发现了相同的原理。
在日常生活中
- **力和矢量。**为了找出两艘拖船拉动一艘船的效果，使用平行四边形规则将力相加。
- **台灯。**铰接杆形成平行四边形，这就是台灯始终保持相同倾斜度的原因。
- **汽车剪刀（千斤顶）。**风琴式千斤顶是一个铰接菱形；当你转动螺丝时，它就会升起汽车。
- 对角停车。 倾斜空间是平行四边形。
来源： 元素，命题 I.34 · Stevin (MacTutor) · Scheiner (MacTutor)。
理论与结构
Teorema对角
a) 在每个平行四边形中，任何两个对角都是全等（并且两个连续的角是补角）。
b) 倒数： 每个具有全等对角的凸四边形都是平行四边形。
Teorema对立双方
a) 在每个平行四边形中，任何两个对边都是全等。
b) 倒数： 每个具有全等对边的凸四边形都是平行四边形。
Teorema对角线
a) 在每个平行四边形中，对角线在各自的中点处相交。
b) **倒数：**每个对角线在各自中点相交的凸四边形都是平行四边形。换句话说：如果两条线段切成两半，它们的端点就是平行四边形的顶点。
Teorema两条平行且全等的边
每个具有两条平行且全等的边的凸四边形都是平行四边形。
查看演示
对角。 与 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$、$\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ}$；与 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$、$\hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$。标志$\hat{A} \equiv \hat{C}$；类似地，$\hat{B} \equiv \hat{D}$。反之，$\hat{A} = \hat{C}$、$\hat{B} = \hat{D}$与$360^{\circ}$相加，得$\hat{A} + \hat{B} = \hat{A} + \hat{D} = 180^{\circ}$，辅络则为平行。
相对两侧。 与 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$、$B\hat{A}C \equiv D\hat{C}A$（交替）。常用$\overline{AC}$和$\hat{B} \equiv \hat{D}$，通过LAAₒ，$\triangle ABC \equiv \triangle CDA$，然后是$AB = CD$和$BC = DA$。在倒数中，由 LLL、$\triangle ABC \equiv \triangle CDA$ 和交替全等角给出平行度。
对角线。 $AB = CD$ 和替代项 $B\hat{A}C \equiv D\hat{C}A$、$A\hat{B}D \equiv C\hat{D}B$ 根据 ALA 给出 $\triangle ABM \equiv \triangle CDM$：$AM = CM$ 和 $BM = DM$。相反，LAL ($AM = CM$, o.p.v., $BM = DM$) 给出 $\triangle ABM \equiv \triangle CDM$，因此得到 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$；类似地$\overline{AD} \parallel \overline{BC}$。
平行且全等的边。 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ 给出 $B\hat{A}C \equiv D\hat{C}A$；与$AB = CD$和$\overline{AC}$公共，由LAL，$BC = AD$ - 然后相对边的倒数有效。
