Euler's Eyes
2026-10-11
6 章中的练习 — 垂直度
练习和决议
如果$\overline{AH}$是相对于$\triangle ABC$的$\overline{BC}$边的高度，则在以下情况下确定$\hat{B}$和$\hat{C}$：
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a) $\hat{B} = 70^{\circ}$ e $\hat{C} = 40^{\circ}$ · b) $\hat{B} = 60^{\circ}$ e $\hat{C} = 40^{\circ}$
在下面的每种情况下，我们都有一个基数 等腰三角形 $\overline{BC}$。确定底座的角度。
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a) $65^{\circ}$ · b) $61^{\circ}$
在图中的三角形$ABC$中，如果$\overline{AH}$是高度，$\overline{BS}$是角平分线，则给定$B\hat{A}H = 30^{\circ}$和$A\hat{C}B = 40^{\circ}$，确定$B\hat{S}C$。
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$B\hat{S}C = 110^{\circ}$
从图中我们知道，$\overline{AH}$是三角形$ABC$相对于$\overline{BC}$的高度，$\overline{AS}$是角平分线。如果$\hat{B} = 70^{\circ}$和$H\hat{A}S = 15^{\circ}$，则确定$\hat{C}$。
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$\hat{C} = 40^{\circ}$
在以下情况下确定$x$的值：
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a) $25^{\circ}$ · b) $145^{\circ}$ · c) $160^{\circ}$ · d) $40^{\circ}$
证明：边垂直的两个角全等或互补。
看书上的解决办法
设角度为 $a\hat{O}b$ 和 $c\hat{V}d$，$Oa \perp Vc$ 和 $Ob \perp Vd$，测量值 $\alpha$ 和 $\beta$，$\alpha^{\prime}$ 和 $\beta^{\prime}$ 是补充相邻角度的测量值。通过 $O$，我们引导 $Oc^{\prime} \parallel Vc$ 和 $Od^{\prime} \parallel Vd$，得到测量 $\gamma$ 的角度 $c^{\prime}\hat{O}d^{\prime}$ 及其相邻的补充 $\gamma^{\prime}$。
按平行边的角度：$\gamma = \beta$、$\gamma^{\prime} = \beta^{\prime}$。由于 $a\hat{O}c^{\prime}$ 和 $b\hat{O}d^{\prime}$ 是直的：
$$a\hat{O}d^{\prime} = 90^{\circ} - \alpha \quad\text{e}\quad a\hat{O}d^{\prime} = 90^{\circ} - \gamma = 90^{\circ} - \beta \ \Longrightarrow\ \alpha = \beta.$$然后是$\alpha = \beta$、$\alpha^{\prime} = \beta^{\prime}$、$\alpha + \beta^{\prime} = 180^{\circ}$和$\alpha^{\prime} + \beta = 180^{\circ}$。
在图中（左），计算$x$的值。
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$x = 80^{\circ}$
在上图中（右），计算$x$的值。
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$x = 70^{\circ}$
图中确定$\alpha$、$\beta$、$\gamma$的测量值。
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$\alpha = 40^{\circ}$, $\beta = 50^{\circ}$ e $\gamma = 40^{\circ}$
图中的三角形$ABC$中，有$\hat{B} = 60^{\circ}$和$\hat{C} = 20^{\circ}$。高度$\overline{AH}$和角平分线$\overline{AS}$形成的角度$H\hat{A}S$的值是多少？
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$H\hat{A}S = 20^{\circ}$
在底边为 $\overline{AB}$ 的 等腰三角形 $ABC$ 中，角度 $\hat{B}$ 等于由 垂直平分线 $\overline{QS}$ 和 $\overline{PS}$ 形成的角度 $\hat{S}$ 的 $\dfrac{2}{3}$。计算这个三角形的角度。
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$36^{\circ}$, $72^{\circ}$ e $72^{\circ}$
说明：直角三角形斜边的中线是斜边的一半。
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它是相对于上面证明的斜边定理的中位数。
如果三角形$ABC$是斜边$\overline{BC}$的矩形，$\overline{AM}$是中线，则确定$x$：
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a) $25^{\circ}$ · b) $20^{\circ}$
图中，计算$x$和$y$。 $M$ 是$\overline{BC}$ 的中点。
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$x = \dfrac{10}{3}$ e $y = 30$
图中，$\overline{BD}$是直角三角形$ABC$（$\hat{B} = 90^{\circ}$）和$\overline{BE} \perp \overline{AC}$的中线。如果为 $\hat{A} = 70^{\circ}$，则计算 $E\hat{B}D$ 的测量值。
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$E\hat{B}D = 50^{\circ}$
图中的直角三角形$ABC$中，中线$\overline{AM}$与角平分线$\overline{BF}$形成邻角$B\hat{F}A$和$B\hat{F}M$。用 $\hat{B}$ 表达 $B\hat{F}M$。
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$B\hat{F}M = \dfrac{3\hat{B}}{2}$
在直角三角形 $ABC$ 中，高度 $\overline{AS}$ 与中线 $\overline{AM}$ 形成 $22^{\circ}$ 角。计算$\hat{B}$和$\hat{C}$。
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$\hat{B} = 56^{\circ}$ e $\hat{C} = 34^{\circ}$
确定直角三角形的锐角，已知中线和 角平分线 相对于斜边形成的角度为 $35^{\circ}$。
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$80^{\circ}$ e $10^{\circ}$
三角形$ABC$的角$\hat{B}$和$\hat{C}$的内角角平分线形成角$116^{\circ}$。确定该三角形的高度相对于边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 形成的最小角度的尺寸。
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$52^{\circ}$
在任何直角三角形中，高和中线相对于斜边形成的角等于斜边相邻角之间的差的模数。
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考虑相对于斜边的中位数确定两个 等腰三角形（参见中位数图）。
证明如果相对于三角形一条边的中线测量该边的一半，则该三角形是直角的。
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三角形$AMB$和$AMC$是等腰三角形； $\alpha$ 和 $\beta$ 是它们的底角，$2\alpha + 2\beta = 180^{\circ}$，因此 $\alpha + \beta = 90^{\circ} = \hat{A}$。
由于$ABC$是等腰三角形底$\overline{BC}$，$M$是基点，证明： 1）如果$\overline{AM}$是中位数，则它是角平分线和高度； 2）如果$\overline{AM}$为角平分线，则为中位数和高度； 3rd）如果$\overline{AM}$是高度，那么它是中位数，角平分线。
看书上的解决办法
在 等腰三角形 中，底角相等。在每种情况下，$\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ 都被证明：
- $\overline{AM}$ 中位数：对于 LLL（或 LAL）情况。因此 $\overline{AM}$ 是 角平分线 和高度。
- $\overline{AM}$ 角平分线：对于 LAL（或 ALA）情况。因此 $\overline{AM}$ 是中位数和高度。
- $\overline{AM}$高度：针对直角三角形（或LAAₒ）的特殊情况。因此，$\overline{AM}$ 是中位数，角平分线 是。
证明在每个 等腰三角形 中我们总是有两个全等的高度。
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使用 LAAₒ。
证明如果三角形的高和中线重合，则该三角形是等腰三角形。
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使用鲎试剂。
证明如果三角形的高和 角平分线 重合，则该三角形是等腰三角形。
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使用阿拉。
证明直角三角形的锐角 角平分线 形成的角度与这些锐角的值无关。
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事实上，它们总是形成$45^{\circ}$和$135^{\circ}$的角度，因为$\dfrac{\hat{B}}{2} + \dfrac{\hat{C}}{2} = 45^{\circ}$。
证明如果三角形的两个高度全等，则该三角形是等腰三角形。
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使用全等直角三角形的特殊情况。
通过线段中点的每条直线与线段两端的距离相等。
看书上的解决办法
假设： $AM = MB$，$M \in r$。 论文： $d_{A,r} = d_{B,r}$。
- 如果 $r \supset \overline{AB}$，则两个距离均为空。
- 如果$r$不包含$\overline{AB}$并且不垂直于它，我们垂直于$r$绘制$\overline{AA^{\prime}}$和$\overline{BB^{\prime}}$。在三角形 $AA^{\prime}M$ 和 $BB^{\prime}M$ 中：$\hat{A}^{\prime} \equiv \hat{B}^{\prime}$（直）、$A\hat{M}A^{\prime} \equiv B\hat{M}B^{\prime}$（o.p.v.）和 $AM = BM$。根据 LAAₒ，它们是全等的，并且 $AA^{\prime} = BB^{\prime}$。
- 如果$r \perp \overline{AB}$乘$M$（$r$到垂直平分线），则$A^{\prime} = B^{\prime} = M$和$AA^{\prime} = BB^{\prime}$。
*注意：*直线与极值的距离是等距的，但它的点一般来说不是等距的。仅在 垂直平分线 中每个点与极值的距离相等。
与线段两端等距的每条直线都经过它的中点吗？
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否：它可以与线段平行。
给定两个不同的点$A$和$B$以及直线$AB$之外的一个点$P$，我们如何在点$A$、$B$和$P$的平面上获得从$A$和$B$穿过$P$的两条等距直线？
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由于$M$是$\overline{AB}$的中点，因此这些线与线$AB$至$P$以及线$PM$平行。
证明三角形相对于任意边的高度都小于相邻边的算术平均值。
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斜边 < 斜边：$h_a < b$ 和 $h_a < c$；添加，$h_a < \dfrac{b + c}{2}$。
证明锐角三角形的三个高度之和小于该三角形的周长并大于该三角形的半周长。
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第一部分：三个音调均使用前一部分。第二部分：检查 $2h_a > b + c - a$ （和类似）并消失。
由于$r$和$s$是平行线，并且$DE = 2AB$是平行线，因此确定$x$。
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令 $M$ 为 $\overline{DE}$ 和 $AB = \ell$ 的中点。然后是 $DM = EM = \ell$，并且通过相对于直角三角形 $DBE$ 中斜边的中线，也是 $BM = \ell$。因此，三角形$ABM$和$BME$是等腰的。指示底角，我们得到$x = 2 \cdot 18^{\circ} = 36^{\circ}$。
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$x = 36^{\circ}$
在带有斜边$\overline{BC}$的直角三角形$ABC$中，绘制角平分线$\overline{BS}$，$S$位于$\overline{AC}$中。显示 $AS < SC$。
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通过点$S$，垂直于$\overline{BC}$绘制$\overline{SR}$，$R$位于$\overline{BC}$中。三角形 $BAS$ 和 $BRS$ 全等，因此为 $AS = RS$ (1)。在直角三角形 $SRC$ 中，$RS < SC$（边 < 斜边）(2)。从 (1) 和 (2)，$AS < SC$。
下面的三角形 $ABC$ 与底边 $\overline{BC}$ 是等腰三角形。确定$x$。
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- $\hat{B} = \hat{C} = 70^{\circ}$，因此 $\overline{BP}$ 是 $\hat{B}$ ($35^{\circ} + 35^{\circ}$) 的 角平分线。
- 在 $\triangle BPC$ 处：$\hat{B} = 35^{\circ}$、$\hat{C} = 55^{\circ}$、然后 $\hat{P} = 90^{\circ}$。
- 在$\triangle CBE$中，$\overline{BP}$是角平分线和高，因此三角形是等腰底$\overline{CE}$，$P$是$\overline{EC}$的中点。
- 在$\triangle DEC$中，$\overline{DP}$是中位数和高度，因此它也是底边$\overline{EC}$的等腰。然后是$\hat{E} = 15^{\circ}$和$x = 75^{\circ}$。
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$x = 75^{\circ}$