Euler's Eyes
2026-10-11
投影和距离
物体在太阳上方的投影是正交投影。工程师们将这个想法变成了至今仍在使用的绘图方法。
谁发现的
将数字投影到平面上的想法很古老——日晷已经可以读取晷针的投影阴影。将其转化为方法的人是法国人加斯帕德·蒙日 (1746–1818)，画法几何的创造者。蒙日通过物体在两个垂直平面（平面图和立面图）上的正交投影来表示物体，从而在纸上解决了构造问题。点到直线的距离作为垂线的长度是欧几里德的几何原本的经典结果。
故事
蒙日作为梅济耶尔军校的绘图员，在 1765 左右开发了这种方法，无需长时间计算即可计算防御工事。多年来，该方法一直被视为军事机密。直到法国大革命之后，他才能够在新创建的巴黎理工学院公开教授它，并在1799中发表。
每个建筑计划和每个零件的技术图纸仍然遵循蒙日的预测。 3D 建模程序使用投影来生成对象的前视图、俯视图和侧视图。
在日常生活中
- **房产平面图。**平面图是房屋在地面上的正交投影。
- 正午的阴影。 当太阳处于高度时，倾斜的棍子的影子就是它在地面上的投影，并且始终小于棍子。
- **到道路的距离。**从房屋到直路的距离是通过垂直线（可能的最小线段）来测量的。
- 等距离。 桌子与两个角墙距离相同的位置位于它们之间的角度的 角平分线 上。
来源： Monk (MacTutor) · 元素，命题 I.12。
理论与结构
Definição正交投影
- 点 $P$ 在直线 $r$ 上的投影（正交）是 $r$ 到 $P$ 的垂线与 $r$ 相切的点 $P^{\prime}$。如果 $P \in r$，则 $P^{\prime} = P$。
- 线段 $\overline{AB}$（不垂直于 $r$）在 $r$ 上的投影是线段 $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$，其中 $A^{\prime}$ 和 $B^{\prime}$ 是 $A$ 和 $B$ 的投影。
垂直线段和斜线段
通过 $r$ 之外的点 $P$，我们绘制垂直线段 $\overline{PP^{\prime}}$ 和倾斜线段 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$、……直到 $r$。
Propriedade斜线比较
- 垂直线段小于任何斜线段（它是以斜边为斜边的直角三角形的边）。
- 具有全等投影的斜线是全等的，反之亦然（LAL 和斜边情况）。
- 在投影不一致的两条斜线中，投影最大的斜线较大，反之亦然。
- 在两个不全等的斜角中，较大的与其投影形成较小的角度，反之亦然。
查看项目 3 和 4 的演示
3. 硒 $P^{\prime}C > P^{\prime}A$， 和 $A$ 和 $C$ 在同一侧 $P^{\prime}$， 然后 $A$ 介于 $P^{\prime}$ 和 $C$。角度 $P\hat{A}C$ 是钝角的，因为它位于 $\triangle PP^{\prime}A$，它有一个直角 $P^{\prime}$。节点 $\triangle PAC$, $P\hat{A}C$ （钝角）大于 $P\hat{C}A$ （锐角），最大角与最大边相对： $PC > PA$。倒数通过排除得出。
4。 如果 $PD > PC$，则 $P^{\prime}D > P^{\prime}C$。取$P^{\prime}$和$D$之间的$C^{\prime}$与$P^{\prime}C^{\prime} = P^{\prime}C$；然后$P\hat{C^{\prime}}P^{\prime} \equiv P\hat{C}P^{\prime}$。由外角定理可知$\triangle PC^{\prime}D$、$P\hat{D}C^{\prime} < P\hat{C^{\prime}}P^{\prime}$，因此$P\hat{D}P^{\prime} < P\hat{C}P^{\prime}$。倒数通过排除得出。
Definição距离
- 从一点到直线的距离是从该点到它在直线上的投影的距离：$d_{P,r} = d_{P,P^{\prime}}$。如果$P \in r$，则为空。
- 两条平行线之间的距离是其中一条平行线上的任意点到另一条平行线的距离：$d_{r,s} = d_{P,s}$，其中$P \in r$。
Teorema平行线是等距的
如果两条不同的线平行，则其中一条线上的点与另一条线的距离相同。
查看演示
令 $A, B \in r$ 和 $A^{\prime}, B^{\prime}$ 为您在 $s$ 上的投影。四边形的角度 $\hat{A}$ 与 $\hat{A^{\prime}}$ 平行，因此它也是直角。在三角形 $AA^{\prime}B^{\prime}$ 和 $B^{\prime}BA$（具有公共对角线）中： $\overline{AB^{\prime}}$ 公共、交替全等角和直角。根据LAAₒ，它们是全等的，并且$AA^{\prime} = BB^{\prime}$：$d_{A,s} = d_{B,s}$。
垂直平分线和角平分线：等距点的地方
Propriedade垂直平分线 积分
线段 垂直平分线 上的每个点与线段末端的距离相等（LAL 情况）：
$$(m \text{ é mediatriz de } \overline{AB},\ P \in m) \Rightarrow PA = PB.$$Propriedade角平分线 积分
角度 角平分线 上的每个点到角度各边的距离均等（LAAₒ 情况）：
$$(s \text{ é bissetriz de } a\hat{O}b,\ P \in s) \Rightarrow d_{P,a} = d_{P,b}.$$两个非常常用的属性
Teorema垂直边的角度（练习 194）
各自垂直的边的两个角全等或补。
Teorema相对于斜边的中线（练习 200）
相对于直角三角形斜边的中位数测量斜边的一半：$AM = \dfrac{BC}{2}$。因此，$MA = MB = MC$、三角形$AMB$和$AMC$是等腰的。
查看本书演示
- 在射线 $\overrightarrow{AM}$ 上取 $P$，$M$ 在 $A$ 和 $P$ 之间，从而得到 $PM = AM$。
- 作者：拉尔，$\triangle AMB \equiv \triangle PMC$。因此$A\hat{B}M \equiv P\hat{C}M$；内部备用也是如此，$\overleftrightarrow{BA} \parallel \overleftrightarrow{PC}$。
- 从$\overleftrightarrow{BA} \parallel \overleftrightarrow{PC}$和$B\hat{A}C$直，$P\hat{C}A$直（内络）。
- 在三角形 $BAC$ 和 $PCA$ 中：$BA = PC$、$\hat{A} \equiv \hat{C}$（直角）和 $\overline{AC}$ 公共。根据 LAL，它们是全等的，因此 $AP = BC$。作为 $AP = 2AM$，出现 $AM = \dfrac{BC}{2}$。