从直线之外的一点，如何降低与该直线的垂线？这是为数不多的有注册作者姓名的老期刊之一。

谁发现的

Proclus 归因于希俄斯岛的 Enopides（公元前 5 世纪）首次研究了通过直线之外的一点画垂直线的问题；奥诺皮德斯将这条线称为“日晷线”，指的是日晷的垂直杆日晷。经典的解决方案在欧几里得的几何原本中：命题I.11将垂直线提高一点，而I.12将垂直线降低在线外一点。

欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

欧几里得的构造很简单：以一点为圆心，画一个圆，在两点处与直线相交；垂线穿过它们之间的中点。证明使用全等三角形——与前一章相同的方法。

外点与弦两端的距离相等；将其连接到中点会产生垂线。
外点与弦两端的距离相等；将其连接到中点会产生垂线。来自博客的原始教学插图。

垂直平分线 是一条穿过线段中点的垂线，它的重要性远远超出了学校几何。在 1854 中，John Snow 医生绘制了伦敦霍乱死亡病例的地图，并将每个病例与最近的水泵联系起来，并按距离划分了社区。用点之间的 垂直平分线 划分区域——“Voronoi 图”——仍然用于决定哪所学校、医院或天线服务于哪个地址。

约翰·斯诺.
约翰·斯诺.作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域

在日常生活中

  • **到边缘的最短路径。**从直线之外的点到该点的最短路径是垂直线。任何游到泳池边缘的人都遵循这条线。
  • **建筑物的高度。**高度是垂直于地板测量的，而不是沿着倾斜的楼梯测量的。
  • 垂直平分线。 与两所学校距离必须相同的公交车站位于连接两所学校的路段的 垂直平分线 上。
  • **蜂窝网络。**您的手机通常连接到最近的天线；每个天线区域之间的边界遵循 垂直平分线。

来源： Enópides (MacTutor) · 元素，命题 I.12 · 元素，命题 I.11。

理论与结构

Teorema垂直于直线上的一点

在平面中，经过直线 $r$ 上的点 $P$，会经过一条垂直于 $r$ 的单直线 $s$。

**存在性：**通过传递角度，我们在$r$的半平面之一构造与直角全等的角$s_1\hat{P}r_1$；包含 $s_1$ 的线 $s$ 垂直于 $r$。 **唯一性：**如果通过 $P$ 的两条不同的直线 $x$ 和 $y$ 垂直于 $r$，则同一半平面中的光线 $Px_1$ 和 $Py_1$ 将与 $Pr_1$ 形成两个不同的直角 - 这与角度传递相矛盾。

Teorema垂直于线外一点

通过直线 $r$ 外部的点 $P$，经过一条垂直于 $r$ 的单直线。

查看演示

**存在性。**通过$P$画一条直线，将$r$与$O$相切，并令$Or_1$为$r$的射线。在与$P$相对的半平面中，用$r_1\hat{O}P \equiv r_1\hat{O}Q$和$\overline{OP} \equiv \overline{OQ}$取$Q$。直线$s = \overleftrightarrow{PQ}$垂直于$r$：若$\overline{PQ}$与$X = O$相切$r$，则角度为直角；如果$X \neq O$，则通过LAL，$\triangle OXP \equiv \triangle OXQ$和$O\hat{X}P \equiv O\hat{X}Q$是直的。

唯一性。 如果 $x$ 和 $y$ 不同，且通过垂直于 $r$ 的 $P$（在 $X$ 和 $Y$ 中），则在与 $\overrightarrow{YP}$ 和 $\overline{YQ} \equiv \overline{YP}$ 相对的射线上取 $Q$。根据 LAL，$\triangle PXY \equiv \triangle QXY$ 和 $Q\hat{X}Y$ 是直的。因此，通过 $X$ 的两条垂线将穿过 $r$（$x$ 和 $XQ$），这与前面的定理相矛盾。

高度和 垂直平分线

Definição三角形的高

三角形的高是垂直于一侧支撑线的线段，其端点位于该线和相对的顶点上。如果 $H_a$ 是直线 $BC$ 与通过 $A$ 的垂线的交点，则 $\overline{AH_a}$ 是相对于边 $\overline{BC}$（或相对于边 $a$，或相对于顶点 $A$）的高度。 $H_a$ 是脚高。

在钝角三角形中，高度的脚可能落在边的延长线上（虚线）。拖动顶点。

Definição段的 垂直平分线

线段的 垂直平分线 是通过线段中点垂直于该线段的线。