墙壁、正方形、纸张：建筑世界充满了直角。

谁发现的

早在直角被定义之前，埃及人、巴比伦人、印度人和中国人就在实践中使用了直角。巴比伦平板电脑普林普顿 322（约公元前 1800）列出了形成直角三角形的一组数字，例如 45、60 和 75 — 三角形 3-4-5 放大 15次 —，中文文本周笔算经带来了关于三角形3-4-5的著名图形。严格的定义来自欧几里德（定义I.10）：当一条直线与另一条直线相交形成相等的邻角时，它们都是直线，并且直线与另一条直线垂直。

欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

人们常说，埃及的“绳索担架”用12个结的绳子形成直角，形成三角形3-4-5。这是一个美丽的故事，但没有埃及文献证实它：它是 19 世纪历史学家的假设。众所周知，埃及建筑商以极高的精度制造直角。

欧几里得毕达哥拉斯定理（命题一47）的中文字母：在利玛窦和徐光启翻译的《几何原本》1607中，希腊标签变成了十个天干。
欧几里得毕达哥拉斯定理（命题一47）的中文字母：在利玛窦和徐光启翻译的《几何原本》1607中，希腊标签变成了十个天干。来自博客的原始教学插图，根据欧拉之眼系列中的人物重新设计。

欧几里得将直角作为比较所有角度的标准，并在第四条公设中指出所有直角都相等。 垂直一词源自拉丁语perpendiculum，即铅垂线。

在日常生活中

  • 瓦工尺 3-4-5。 要检查墙的垂直度，请在一侧标记 3 米，在另一侧标记 4 米，并检查对角线是否为 5 米。
  • **铅垂线和水平仪。**铅垂线表示垂直，水平仪表示水平，两者垂直。
  • 纸张和画布。 A4 纸、照片和画布有直角；这允许堆叠、装配和对齐。
  • **十字路口。**以直角相交的街道为驾驶员提供了更多的视野。

来源： 元素，定义 I.10 · 巴比伦数学：普林普顿 322 (MacTutor) · 中国数学 (MacTutor)。

理论与结构

Definição垂直线

两条线垂直（符号$\perp$）当且仅当它们是并发的并且形成全等的补邻角：

$$a \perp b \iff a \cap b = \lbrace P \rbrace \ \text{ e } \ a_1\hat{P}b_1 \equiv a_1\hat{P}b_2,$$

其中，$a_1$ 是原点为 $P$ 的 $a$ 的光线之一，$b_1$、$b_2$ 是原点为 $P$ 的 $b$ 的相反光线。

如果两条射线（或两条线段）包含在垂直线中并且有公共点，则它们是垂直的。如果 $a_1 \perp b_1$，则角度 $a_1\hat{P}b_1$ 是右。

Definição斜直道

两条不垂直的并行线是斜线。

Teorema直角的存在性

有一个直角。

查看演示

取一条直线 $r$、从该直线出发的一个点 $O$ 以及从 $r$ 出发、原点为 $O$ 的一条射线 $r_1$。在相对于 $r$ 的相对半平面中，将 $P$ 和 $Q$ 与 $r_1\hat{O}P \equiv r_1\hat{O}Q$ (1) 和 $\overline{OP} \equiv \overline{OQ}$ (2) 一起取。线段$\overline{PQ}$在点$X$处切割$r$。

  • 如果 $X = O$，角度 $P\hat{X}r_1$ 和 $Q\hat{X}r_1$ 相邻、互补且全等：它们是直的。
  • 若$X \neq O$，由LAL((2)、(1)和$\overline{OX}$共同)、$\triangle POX \equiv \triangle QOX$，则$P\hat{X}O \equiv Q\hat{X}O$：又是两个全等的邻接角，即直角。