Euler's Eyes
2026-10-11
三角关系的后果
任意三角形的内角和为180°。这也许是继毕达哥拉斯定理之后最著名的几何定理。
谁发现的
普罗克洛斯引用罗德岛的尤德穆斯的话，将三角形的角加起来等于两个直角的第一个一般性证明归因于毕达哥拉斯学派（公元前6-5世纪）。评论员Gemino补充说，古人已经分别证明了等边三角形、等腰和不等腰的事实。我们得到的版本是欧几里得的几何原本的命题I.32，它也证明了外角等于两个不相邻内角之和。
故事
该证明使用一条平行于一侧的边——因此取决于第五条假设。这不是一个细节：在非欧几里得几何中，三角形的内角和与 180° 不同。例如，在球体的表面上，它总是更大。
勒让德18 世纪末证明，如果没有第五条公设，三角形之和永远不会超过 180°，并且如果单个三角形的和恰好为 180°，则所有三角形都会超过 180°。据说 高斯，在测量德国三座山之间的一个大三角形时，他会检查总和是否为180°；历史学家们争论这是否是其意图。
在日常生活中
- **撕掉角。**剪出一个纸三角形，撕掉三个角并将它们连接在一起：它们形成一个浅角。
- 屋顶。 知道屋顶的坡度（例如，30°）并且剪刀顶部是对称的，木匠计算顶部的角度：120°。
- **地形。**测量三角形地形的三个角度时，测量员检查总和是否为180°；差异表示测量误差。
- **导航。**飞行员和领航员计算航线三角形的第三个角度与其他两个角度的关系。
来源： 元素，命题 I.32 · 毕达哥拉斯 (MacTutor) · 勒让德 (MacTutor)。
理论与结构
Teorema外角
在每个三角形中，任何外角都等于与其不相邻的两个内角的总和：$e = \hat{A} + \hat{B}$。
Teorema三角形的内角和
任何三角形的内角之和等于两个直角：
$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}.$$演示
- 通过$C$我们画一条与$\overleftrightarrow{AB}$平行的直线$\overleftrightarrow{CD}$。它将外角$e$（与$\hat{C}$相邻）分为$\alpha$和$\beta$。
- $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ 和横向 $\overleftrightarrow{AC}$：$\alpha \equiv \hat{A}$（交替）。
- $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$和横向$\overleftrightarrow{BC}$：$\beta \equiv \hat{B}$（对应）。
- 加：$e = \alpha + \beta = \hat{A} + \hat{B}$——是外角定理。
- 由于$e$和$\hat{C}$是互补的，因此$e + \hat{C} = 180^{\circ}$，即$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$。
Propriedade笔记
- 平行边角。具有各自平行边的两个角是全等或互补。
- 等边三角形。 在 等边三角形 中，每个角度测量 $60^{\circ}$：由 等腰三角形、$\hat{A} \equiv \hat{B} \equiv \hat{C}$ 测量，总和为 $180^{\circ}$。所有 等边三角形 都是 等角。
一个有用的结果，在多个练习中使用：如果多边形在两条纬线之间形成“喙”，则喙的角度是线段与纬线形成的角度之和。