Euler's Eyes
2026-10-11
并行的存在唯一性
平行线穿过直线之外的一点。 只有一次通过是几何史上讨论最多的说法。
谁发现的
这 存在 并行的证明是 欧几里得 （提案 I.31）。这 独特性 取决于你的 第五假设，许多人试图将其转化为定理。今天学校使用的形式——“一条平行线穿过直线之外的一点”——被称为 普莱费尔公理，因为苏格兰 约翰·普莱费尔，他在 1795 年普及了它，尽管 Proclus 已经阐述过它。 1829年，俄国人 尼古拉·罗巴切夫斯基 发表了一种几何学，其中有无限多条平行线通过。
故事
两千多年来，数学家们试图证明第五条公设，而其他公设包括古代的托勒密和普罗克洛斯， 伊本·海瑟姆, 奥马尔·海亚姆 和 纳西尔·丁·图西 在伊斯兰世界， 吉罗拉莫·萨切里 （1733），兰伯特和勒让德在欧洲。每个人最终都在没有意识到的情况下使用了某种相当于公设本身的陈述。
当 Lobachevsky (1829) 和匈牙利人 János Bolyai (1832) 独立接受公设的否定并获得没有矛盾的几何时，转折点出现了。 高斯得出了相同的想法，但从未发表。第五条公设不是一个定理：它是一个选择，本书的几何学就是采用它的。
在日常生活中
- **地图和地球仪。**在地球表面上不存在欧几里得意义上的平行线：在赤道处看起来平行的子午线在两极相交。
- 飞机路线。 圣保罗和东京之间的最短路线并不是平面地图上的直线，而是一条大圆弧。
- GPS。 卫星时钟通过广义相对论进行校正，广义相对论是爱因斯坦用非欧几里得几何描述时空的理论。
- 技术绘图。 平行标尺和滑动方块在每个点上追踪唯一与给定直线平行的点。
来源： 非欧几里得几何 (MacTutor) · 元素，假设 5 · Playfair (MacTutor) · Lobachevsky (MacTutor)。
理论与结构
Teorema并行的存在
如果两条不同的共面线和一条横截线确定交替（或相应）全等角度，则这两条线平行：$\alpha \equiv \beta \Rightarrow a \parallel b$。
示范（荒谬）
- 如果 $a$ 和 $b$ 不平行，则它们将有一个公共点 $P$。
- 通过 $a \cap t = \lbrace A \rbrace$ 和 $b \cap t = \lbrace B \rbrace$，我们将得到三角形 $ABP$。
- 交替角之一是该三角形的外角，另一个是不相邻的内角。根据外角定理（第4章），我们将得到$\alpha > \beta$或$\beta > \alpha$。
- 这与 $\alpha \equiv \beta$ 假设相矛盾。因此，$a \parallel b$。
并行建设。 追踪通过 $P$ 一条平行于直线 $a$: 我们路过 $P$ 顺子 $t$，这会削减 $a$ 在 $M$;我们采取 $A \in a$, $A \neq M$，我们用顶点构造 $P$ 和侧面 $\overrightarrow{PM}$, 角度 $M\hat{P}B \equiv A\hat{M}P$， 和 $B$ 在与 相对的半平面上 $A$ 相对于直线 $PM$。角度是交替且全等的；由前面的定理， $\overleftrightarrow{PB} \parallel a$.
Postulado欧几里得公设（平行公设）
单直线穿过与给定直线平行的点。
这个来自欧几里得 (300 BC) 的假设描述了我们研究的几何学的特征：欧几里得几何。
Teorema倒数：平行线形成全等交替线
如果两条不同的平行线与一条横截线相交，则交替角度（或相应的角度）相等：$a \parallel b \Rightarrow \alpha \equiv \beta$。
查看演示
硒 $\alpha$ 和 $\beta$ 不全等，就会有一条直线 $x$，不同于 $b$，经过 $P$ ($\lbrace P \rbrace = b \cap t$）并形成 $t$ 一个角度 $\beta^{\prime} \equiv \alpha$，交替从 $\alpha$。由存在定理， $x \parallel a$。那么为什么 $P$ 两条不同的直线会经过， $x$ 和 $b$，平行于 $a$ ——这与欧几里得的假设相矛盾。标识 $\alpha \equiv \beta$.
Resumo充分必要条件
两条不同的线是平行的当且仅当，它们与横截面形成交替（或相应）全等的角度：
$$\alpha \equiv \beta \iff a \parallel b.$$
