Euler's Eyes
2026-10-11
平行线
平行线永远不会相交——然而，在透视图中，它们似乎在地平线上相交。
谁发现的
经典的定义来自欧几里得（c. 300 BC），在几何原本的定义I.23中：平行线是在同一平面内并且在两个方向上无限延伸且不相交的线。由横向（交替、对应、并列）形成的角度之间的关系是命题 I.27 到 I.29。哲学家波西多尼乌斯（公元前一世纪）提出了另一个定义，即直线总是处于相同的距离； Proclus 记录了这场辩论。
故事
为什么不将平行线定义为“等距”线，这样看起来更自然？因为要证明两条不相交的直线总是处于相同的距离需要第五条公设——而希腊人已经怀疑它很微妙。欧几里得选择了依赖于较少假设的定义，并首先证明了他在没有假设的情况下所能做到的一切：命题 I.27 和 I.28 不使用它，而 I.29 则使用它。
在文艺复兴时期，Filippo Brunelleschi (c. 1415) 和Leon Battista Alberti (1435) 表明，在透视绘画中，必须绘制会聚到消失点的平行线。因此，射影几何诞生了，其中“平行线相交于无穷远”。
在日常生活中
- **火车轨道。**它们需要平行：如果它们之间的距离发生变化，火车就会脱轨。
- **道路车道和停车位。**它们平行绘制以组织交通。
- **百叶窗和笔记本板条。**等距平行线。
- **摄影。**在一张笔直街道的照片中，平行的人行道似乎在地平线上相遇——文艺复兴的消失点。
来源： 元素，定义 I.23 · 元素，命题 I.29 · Proclus (MacTutor)。
理论与结构
Definição平行线
当且仅当两条线重合或共面且没有公共点时，两条线平行（符号 $\parallel$）：
$$a = b \ \Rightarrow\ a \parallel b \qquad\qquad (a \subset \alpha,\ b \subset \alpha,\ a \cap b = \varnothing) \ \Rightarrow\ a \parallel b$$
两条直线和一条横线所形成的角
设 $a$ 和 $b$ 是两条不同的线，无论是否平行，$t$ 是与两条线并存的线：$t$ 是 $a$ 和 $b$ 的横线。由它们确定的八个角度成对命名：
| 对 | 姓名 | 细节处理 |
|---|---|---|
| 1 e 7, 2 e 8, 3 e 5, 4 e 6 | 备用 | 内部：3和5、4和6 ·外部：1和7、2和8 |
| 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8 | 通讯员 | 每个交叉路口的位置相同 |
| 1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5 | 抵押品 | 内部：3和6、4和5 ·外部：1和8、2和7 |
Propriedade一种一致性拉动所有其他一致性
其中一对（例如，$\hat{1} \equiv \hat{7}$）的两个交替角度的全等是等效的：
- 与所有交替对（$\hat{2} \equiv \hat{8}$、$\hat{3} \equiv \hat{5}$、$\hat{4} \equiv \hat{6}$）同余；
- 所有对应对的全等；
- 所有抵押品对 ($\hat{1} + \hat{8} = \hat{2} + \hat{7} = \hat{3} + \hat{6} = \hat{4} + \hat{5} = 180^{\circ}$) 的补充。