Euler's Eyes
2026-10-11
三角形全等
两个三角形什么时候是彼此的“副本”？六项不必检查，选三项就够了。
谁发现的
带有作者姓名的最古老的标准是 真主 （一侧和两个相邻的角）。 普罗克洛斯，引用罗德岛的尤德穆斯的话，说 米利都的泰勒斯 （公元前6世纪）用它来计算船只在海上的距离。案例展示 鲎试剂 （提案 I.4）， LLL (I.8) 和 真主 (I.26) 位于 元素 的 欧几里得 （约公元前 300 年）。 1899年， 大卫·希尔伯特 表明 LAL 案例需要被接受为公理。
故事
为了证明 LAL 的情况，欧几里得“移动”一个三角形并将其放置在另一个三角形的顶部——即所谓的叠加法。自古以来，评论家就指出没有任何假设认可这一运动。许多人接受了这个证据；其他人，例如文艺复兴时期的数学家 Jacques Peletier (1557) 则批评了它。
希尔伯特结束了讨论：在他的公理学中，LAL 案例的一个版本是同余公理之一，并从中证明了 ALA 和 LLL 案例。这就是为什么在本书中，LAL 是假设，而其他情况是定理。
在日常生活中
- **三角形不变形。**在 LLL 情况下，一旦三边固定，三角形就确定了。这就是为什么带有法式手（对角杆）的架子不会让路，而没有对角线的门会弯曲。
- 测量无法到达的地方。 就像泰勒斯的船舶一样：通过测量陆地上的一侧和两个角度，在可以测量的地方构造一个全等三角形。
- **批量生产。**使用相同模板切割的零件是一致的并且可以互换。
- **对称性。**屋顶剪的两半（三角形框架）是全等的三角形，可以平衡重量。
来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 I.4 · 元素，命题 I.26 · 希尔伯特 (MacTutor)。
理论与结构
Definição全等三角形
一个三角形与另一个三角形全等当且仅当可以在其顶点之间建立对应关系，使得边有序全等并且角有序全等：
$$\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \iff \begin{cases} \overline{AB} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}},\ \overline{AC} \equiv \overline{A^{\prime}C^{\prime}},\ \overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}} \\ \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \end{cases}$$三角形的全等具有自反性、对称性和传递性。
该定义需要六个同余。但有最低条件，只需三个元素，就已经保证了其他条件：它们是一致性的情况（或标准）。选择图中的一个案例，看看为什么三个骰子就足够了，以及为什么“LLA”还不够。
Postulado第一个案例——鲎试剂
如果两个三角形的两条边和所围的角完全相等，那么它们就是全等的。
$$\overline{AB} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}},\ \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \overline{AC} \equiv \overline{A^{\prime}C^{\prime}} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$$LAL 案例是一个假设。其他事例均以此为证。
Teorema等腰三角形 定理
如果三角形有两条全等的边，则这两条边相对的角全等。换句话说：所有 等腰三角形 都是等角（具有全等的底角）。
$$\overline{AB} \equiv \overline{AC} \ \Longrightarrow\ \hat{B} \equiv \hat{C}$$演示
- 这个想法是将三角形与其自身“翻转”进行比较：我们将 $A$、$B$、$C$ 与 $A$、$C$、$B$ 关联。
- $\overline{AB} \equiv \overline{AC}$（假设）、$B\hat{A}C \equiv C\hat{A}B$（相同的角度）和$\overline{AC} \equiv \overline{AB}$（假设）。
- 在 LAL 情况下，$\triangle ABC \equiv \triangle ACB$。
- 根据这个同余，第一个的 $B$ 中的角度对应于第二个的 $C$ 中的角度：$\hat{B} \equiv \hat{C}$。
Teorema案例二——ALA
如果两个三角形有一个有序全等的一条边和与其相邻的两个角，那么它们是全等的。
$$\hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$$演示（回到 LAL）
- 只要证明$\overline{BA} \equiv \overline{B^{\prime}A^{\prime}}$，那么它就值得LAL。
- 通过传输线段，我们在射线 $\overrightarrow{B^{\prime}A^{\prime}}$ 上取 $X$ 和 $\overline{B^{\prime}X} \equiv \overline{BA}$。
- 通过 LAL（$\overline{BA} \equiv \overline{B^{\prime}X}$、$\hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime}$、$\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$）、$\triangle ABC \equiv \triangle XB^{\prime}C^{\prime}$，然后 $B\hat{C}A \equiv B^{\prime}\hat{C^{\prime}}X$。
- 但是，假设，$B\hat{C}A \equiv B^{\prime}\hat{C^{\prime}}A^{\prime}$。通过传输角度，射线 $\overrightarrow{C^{\prime}X}$ 和 $\overrightarrow{C^{\prime}A^{\prime}}$ 重合，并且都在单个点 $X = A^{\prime}$ 处切割 $\overrightarrow{B^{\prime}A^{\prime}}$。
- 然后是 $\overline{B^{\prime}A^{\prime}} \equiv \overline{BA}$，对于 LAL，是 $\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$。
通过 ALA 案例，我们证明了 等腰三角形 定理的倒数：如果一个三角形有两个全等角，则它是等腰三角形。（如前所述，将 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ACB$ 进行比较。）
Teorema第三种情况——LLL
如果两个三角形的三边完全全等，那么它们是全等的。
查看 LLL 案例演示
我们传输角度 $C\hat{A}B$ 和线段 $\overline{AC}$，以获得具有 $X\hat{A^{\prime}}B^{\prime} \equiv C\hat{A}B$ 和 $\overline{A^{\prime}X} \equiv \overline{AC}$ 的点 $X$，其中 $X$ 位于与 $C^{\prime}$ 相对于直线 $A^{\prime}B^{\prime}$ 的相对半平面中。通过 LAL，$\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}X$，然后 $\overline{XB^{\prime}} \equiv \overline{CB} \equiv \overline{C^{\prime}B^{\prime}}$。
因此，三角形$A^{\prime}C^{\prime}X$和$B^{\prime}C^{\prime}X$是以底边$\overline{C^{\prime}X}$为等腰的，并且它们的底角相等。将这些角度相加或相减（根据线$C^{\prime}X$与$\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$向内或向外相切），我们得到$A^{\prime}\hat{C^{\prime}}B^{\prime} \equiv A^{\prime}\hat{X}B^{\prime}$。作者：拉尔，$\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}X \equiv \triangle ABC$。
中点和 角平分线 的存在
通过同余的情况，我们证明了前面章节中所承诺的两个存在性。
Teorema中点的存在性
给定 $\overline{AB}$，我们构造 $C\hat{A}B \equiv D\hat{B}A$ 和 $\overline{AC} \equiv \overline{DB}$，其中 $C$ 和 $D$ 位于相对于线 $AB$ 的相反半平面上。线段$\overline{CD}$在点$M$处切割$\overline{AB}$。然后：
$\triangle CAB \equiv \triangle DBA$ (LAL) $\Rightarrow$ $\triangle CAD \equiv \triangle DBC$ (LLL) $\Rightarrow$ $\triangle AMD \equiv \triangle BMC$ (ALA)，然后 $\overline{AM} \equiv \overline{BM}$: $M$ 是 $\overline{AB}$ 的中点。
Teorema角平分线 的存在
给定 $a\hat{O}b$，我们将 $A, A^{\prime}$ 代入 $\overrightarrow{Oa}$，将 $B, B^{\prime}$ 代入 $\overrightarrow{Ob}$，并使用 $\overline{OA} \equiv \overline{OB}$、$\overline{OA^{\prime}} \equiv \overline{OB^{\prime}}$ 和 $OA^{\prime} > OA$。令 $C$ 为 $\overline{AB^{\prime}}$ 与 $\overline{A^{\prime}B}$ 的交集。然后是 $\triangle AOB^{\prime} \equiv \triangle BOA^{\prime}$ (LAL)、$\triangle ACA^{\prime} \equiv \triangle BCB^{\prime}$ (ALA) 和 $\triangle OAC \equiv \triangle OBC$（LLL 或 LAL）。因此 $A\hat{O}C \equiv B\hat{O}C$: $\overrightarrow{OC}$ 是 角平分线。
中值和内部 角平分线
Definição三角形的中线和内角 角平分线
- 中位数是末端位于一个顶点且位于对边中点的线段。如果 $M_a$ 是 $\overline{BC}$ 的中点，则 $\overline{AM_a}$ 是相对于边 $\overline{BC}$（或顶点 $A$）的中值。
- 角平分线 内部 是一个线段，其末端位于一个顶点且位于相反的一侧，将该顶点的角度分为两个全等的角度。如果$S_a \in \overline{BC}$和$S_a\hat{A}B \equiv S_a\hat{A}C$，$\overline{AS_a}$是相对于$\overline{BC}$侧的角平分线。
外角
Teorema外角定理
给定 $\triangle ABC$，$\overrightarrow{CX}$ 是与 $\overrightarrow{CB}$ 相对的射线，角度 $e = A\hat{C}X$ 是与 $\hat{C}$ 相邻的外角（并且不与 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 相邻）。它是$\hat{C}$的相邻补充，并且：
三角形的外角大于与其相邻的任何内角： $e > \hat{A}$ 和 $e > \hat{B}$。
演示
- 令 $M$ 为 $\overline{AC}$ 的中点，$P$ 为射线 $\overrightarrow{BM}$ 与 $\overline{BM} \equiv \overline{MP}$ 的交点。
- $\overline{AM} \equiv \overline{MC}$、$A\hat{M}B \equiv C\hat{M}P$（o.p.v.）和 $\overline{BM} \equiv \overline{MP}$：对于 LAL，$\triangle BAM \equiv \triangle PCM$，因此 $B\hat{A}M \equiv P\hat{C}M$ (1)。
- 由于 $P$ 是角度 $e = A\hat{C}X$ 的内部，因此我们有 $e > P\hat{C}M$ (2)。
- 从 (1) 和 (2)：$e > \hat{A}$。
- 取$\overline{BC}$的中点，用与顶点相对的角，与$e > \hat{B}$同样的方法证明。
Teorema第 4 例 — LAAₒ
如果两个三角形有有序全等一条边、一个相邻角以及与该边相对的角，则它们是全等的。
$$\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$$查看 LAAₒ 案例演示
存在三种可能性：$AB = A^{\prime}B^{\prime}$、$AB < A^{\prime}B^{\prime}$ 或 $AB > A^{\prime}B^{\prime}$。在第一种情况下，LAL 就消失了，仅此而已。
硒 $AB < A^{\prime}B^{\prime}$，我们取 $D$ 在半直道上 $\overrightarrow{BA}$ 和 $\overline{BD} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$。通过拉尔， $\triangle DBC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$， 然后 $\hat{D} \equiv \hat{A}^{\prime} \equiv \hat{A}$。但 $\hat{A}$ 是 的外角 $\triangle ADC$，不相邻于 $\hat{D}$;由外角定理， $\hat{A} > \hat{D}$ ——荒谬。案例 $AB > A^{\prime}B^{\prime}$ 类似地，与 $D$ 之间 $A$ 和 $B$。第一种可能性依然存在。
Teorema特殊情况——直角三角形
如果两个直角三角形有有序全等的一侧和斜边，那么它们是全等的。
查看特殊案例演示
令$\hat{A}$和$\hat{A}^{\prime}$为直线，$\overline{AB} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$和$\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$。我们在与 $\overline{A^{\prime}D} \equiv \overline{AC}$ 相对的 $\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}$ 射线上取 $D$。通过 LAL，$\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}D$，然后 $\overline{B^{\prime}D} \equiv \overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$ 和 $\hat{D} \equiv \hat{C}$。 $\triangle B^{\prime}C^{\prime}D$ 是从底 $\overline{C^{\prime}D}$ 到 $\hat{C}^{\prime} \equiv \hat{D} \equiv \hat{C}$ 的等腰。随着$\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$、$\hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime}$和$\hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime}$，LAAₒ案件结束。
Resumo同余情况
| 案件 | 一致元素 | 地位 |
|---|---|---|
| 鲎试剂 | 两条边以及它们之间的角度 | 假定 |
| 真主 | 一侧和两个相邻角 | 定理 |
| LLL | 三边 | 定理 |
| 左心耳ₒ | 一侧、一个邻角和一个对角 | 定理 |
| 特别的 | 边和斜边（直角三角形） | 定理 |
| LLA、AAA | — | 不保证一致性 |