Euler's Eyes
2026-10-11
概念、要素和分类
三角形是最简单、最有用的多边形：任何其他多边形都可以分为三角形。
谁发现的
自埃及和美索不达米亚以来，三角形就出现在装饰品、建筑和面积计算中：莱茵纸莎草纸（约公元前 1650 BC）已经提出了有关三角形土地面积的问题。至今使用的分类来自欧几里德（c. 300 BC）。在几何原本的定义I.20和I.21中，他通过边（等边、等腰和不等边角）和角（矩形、钝角和直角）来分隔三角形。
故事
这些名称是希腊语和描述性的：isosceles 意思是“平等的腿”，scalene 意思是“跛脚”或“不平等”。 等边三角形 有一个重要的地位：它是 几何原本（命题 I.1）的第一个构造，由两个圆圈和一把尺子组成。
几何原本 被手工抄写了一千多年，被翻译成阿拉伯语、拉丁语和英语，并在威尼斯以 1482 首次印刷。它是继《圣经》之后历史上版本最多的书籍之一。
在日常生活中
- **信托。**屋顶、金属桥梁和起重机使用三角形，因为当侧面固定时它们不会变形。
- **自行车。**传统的框架由两个三角形组成，这使得它既轻又坚固。
- 标志。“让路”标志是颠倒的 等边三角形，汽车的安全三角形是 等边。
- 3D 图形。 游戏和动画电影中的角色和场景是由数千个三角形组成的网格。
来源： 元素，定义 I.20 · 元素，命题 I.1 · 欧几里德 (MacTutor)。
理论与结构
Definição三角形
给定三个非共线点 $A$、$B$ 和 $C$，线段 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 的交点称为三角形 $ABC$：
$$\triangle ABC = \overline{AB} \cup \overline{AC} \cup \overline{BC}.$$Definição元素
- 顶点： 点 $A$、$B$ 和 $C$。
- 边数： $\overline{BC}$（测量值 $a$）、$\overline{AC}$（测量值 $b$）和 $\overline{AB}$（测量值 $c$）。
- 角度（内部）： $B\hat{A}C$ 或 $\hat{A}$、$A\hat{B}C$ 或 $\hat{B}$ 以及 $A\hat{C}B$ 或 $\hat{C}$。
边$\overline{BC}$和角$\hat{A}$相反； $\overline{AC}$和$\hat{B}$以及$\overline{AB}$和$\hat{C}$也是如此。
三角形的内部是三个开半平面的交点：原点在包含$A$的线$BC$上，原点在包含$B$的线$AC$上，原点在包含$C$的线$AB$上。内部是一个凸区域； 外部（既不是三角形也不是内部）是凹面。三角形及其内部就是三角形表面。
Definição分类
至于边，三角形是：
- 等边 如果三边全等；
- 等腰 如果它有两个全等的边；
- scalene 如果它没有两个全等的边。
对于角度，三角形是：
- 矩形（如果有直角）；
- acutangle 如果它具有三个锐角；
- obtuseangle 如果它有钝角。
在等腰三角形中，与其他边不同的边是底边，它的对角是顶角。所有等边三角形也是等腰。在直角三角形中，与直角相对的边是斜边，另外两条是边。