两条具有相同原点的射线形成一个角度。关于角度的第一个定理甚至有一个有名的发现者。

谁发现的

Proclus（公元 5 世纪）引用了罗得岛的 Eudemus 的几何史，根据其说法，米利都的泰勒斯（约公元前 624–546 BC）首先认识到与顶点相对的角相等；欧几里得后来才在命题 I.15 中“科学地”证明了这一点。角度作为“两条线的倾斜度”的定义在Euclid的几何原本中（定义I.8）。

雅典学院的人物归因于罗德岛的尤德穆斯 (Eudemus of Rhodes)；不确定的识别。
雅典学院的人物归因于罗德岛的尤德穆斯 (Eudemus of Rhodes)；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域
米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。
米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

毕竟，什么是角度？ Proclus 记录称，古人讨论了它是数量（可测量的东西）、质量（如形式）还是两条线之间的关系。现代定义避免了讨论：角度是由同源的两条射线形成的图形。

泰勒斯的著作来自于他之后许多世纪的作者，我们没有泰勒斯本人的文字。即便如此，它还是有价值的：它表明希腊人已经在其中看到了几何学的开端，在几何学中，事实需要论证。

在日常生活中

  • **剪刀和钳子。**打开刀片时，手柄以相同的角度打开：它们是与顶点相对的角度。
  • 时钟指针。 在 3 h 处，它们形成直角；在 6 h 处，一个浅角度。
  • **开门。**带有减震器的门最大打开一定角度，以免撞到墙壁。
  • **视野。**手机摄像头告知他们可以看到的角度； “广角”涵盖的范围更多。

来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 I.15 · 元素，定义 I.8。

理论与结构

Definição角度

角度是同源两条射线的交点，但不包含在同一条直线中（不共线）。

$$A\hat{O}B = \overrightarrow{OA} \cup \overrightarrow{OB}$$

点$O$是角的顶点，射线$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$是边。当 $a$ 和 $b$ 是边时，我们也写 $a\hat{O}b$ 或简单地写 $\widehat{ab}$。

Definição室内和室外

  • $A\hat{O}B$ 的内部是两个开半平面的交点：$\alpha_1$，其原点位于线 $OA$ 上，其中包含 $B$；以及 $\beta_1$，其原点位于线 $OB$ 上，其中包含 $A$。角的内部是凸的。
  • 角与其内部的交汇处是角扇区（也称为“凸角”）。
  • $A\hat{O}B$ 的外部是一组不属于该角或其内部的点：它是与 $\alpha_1$ 和 $\beta_1$ 相对的开半平面的交点。外部是凹面。

下图是量角器上的角度。拖动$B$并在内部、外部和相邻补充之间切换（参见第四节）。

拖动 $B$。量角器以度为单位测量 $A\hat{O}B$ 并对角度进行分类。

连续角、邻角和顶角

Definição连续和相邻

  • 两个角连续的当且仅当其中一个角的一侧也是另一个角的一侧。
  • 两个连续的角相邻当且仅当它们没有公共内点。
$A\hat{O}B$和$A\hat{O}C$与公共边$\overrightarrow{OA}$连续，但不相邻。 $A\hat{O}B$ 和 $B\hat{O}C$ 相邻。

Definição顶点相反 (o.p.v.)

当且仅当其中一个角的边是与另一个角相对的边的射线时，两个角是顶点相对的。

两条竞争线确定与顶点相对的两对角度。