Euler's Eyes
2026-10-11
章节练习2——线段
练习和决议
如果线段 $\overline{AB}$ 的尺寸为 17 cm，请确定以下情况下 $x$ 的值：
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a) $x + 7 = 17 \Rightarrow x = 10$. b) $PA = PB + BA$: $21 = x + 17 \Rightarrow x = 4$. c) $(x + 3) + x = 17 \Rightarrow x = 7$. d) $AP = AB + BP$: $2x = 17 + (x - 3) \Rightarrow x = 14$.
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a) $x = 10$ 厘米 · b) $x = 4$ 厘米 · c) $x = 7$ 厘米 · d) $x = 14$ 厘米
确定 $x$，其中 $M$ 是 $\overline{AB}$ 的中点：
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a) $x = 7$ · b) $x = 6$
确定 $PQ$，其中 $AB = 31$：
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a) $AB = AQ + QB = 2x + (x + 1) = 31 \Rightarrow x = 10$。然后是$AP = 9$、$AQ = 20$和$PQ = 20 - 9 = 11$。
b) $AB = AP + PB = x + 11 = 31 \Rightarrow x = 20$。然后$PQ = PB + BQ = 11 + 21 = 32$。
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a) $PQ = 11$ · b) $PQ = 32$
确定 $AB$，其中 $M$ 是 $\overline{AB}$ 的中点：
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a) $2x - 5 = x + 8 \Rightarrow x = 13$，然后 $AB = 2 \cdot 21 = 42$。
b) $AM = MB = x$和$AP = AB + BP$：$4x - 5 = 2x + (x + 7) \Rightarrow x = 12$，然后$AB = 24$。
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a) $AB = 42$ · b) $AB = 24$
一条直线上有多少条光线，从直线上的四个点 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 发出？
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8 光线：从每个 4 点出发，2 相对的光线发出。
直线上的三个不同的点，你能确定多少条不同的线段？
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3段：$\overline{AB}$、$\overline{AC}$和$\overline{BC}$。
有多少条线段经过不同的点$A$和$B$？以 $A$ 和 $B$ 结尾的有多少个？
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无数个段经过$A$和$B$；末端为 $A$ 和 $B$ 的只有一个。
练习 13 — 分类为真 (V) 或假 (F)
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如果两个线段连续，则它们共线。
Falso. $\overline{AB}$和$\overline{BC}$可以在同一直线之外形成一个“喙”。
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如果两个线段共线，则它们是连续的。
Falso. 它们可以在同一条线上，没有共同的终点。
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如果两个线段相邻，则它们共线。
Verdadeiro. 相邻的定义要求它们共线。
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如果两个线段共线，则它们相邻。
Falso. 它们需要是连续的，没有共同的内部点。
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如果两个段相邻，则它们是连续的。
Verdadeiro. 它也是定义的一部分。
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如果两个段是连续的，则它们是相邻的。
Falso. $\overline{RS}$和$\overline{ST}$重叠是连续的且不相邻。
直线的线段 $\overline{AB}$ 等于该直线的线段 $\overline{CD}$ 的五倍。确定 $\overline{AB}$ 的测量，将段 $\overline{CD}$ 的第五部分视为测量单位。
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$AB = 25$ 单位。
$P$、$A$ 和 $B$ 是直线上的三个不同点。如果$P$在$A$和$B$之间，那么段$\overline{PA}$、$\overline{PB}$和$\overline{AB}$之间应该存在什么关系？
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$\overline{PA} + \overline{PB} = \overline{AB}$
$P$、$Q$ 和 $R$ 是直线上的三个不同点。如果 $\overline{PQ}$ 等于 $\overline{QR}$ 和 $PR = 32$ cm 的三倍，则确定线段 $\overline{PQ}$ 和 $\overline{QR}$ 的尺寸。
看书上的解决办法
执行 $QR = x$，我们得到 $PQ = 3x$。有两种可能：
第一种情况： $3x + x = 32 \Rightarrow x = 8$，然后是 $PQ = 24$ 厘米和 $QR = 8$ 厘米。
第二种情况： $3x = 32 + x \Rightarrow x = 16$，因此 $PQ = 48$ 厘米和 $QR = 16$ 厘米。
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$PQ = 24$ 厘米和 $QR = 8$ 厘米，或 $PQ = 48$ 厘米和 $QR = 16$ 厘米。
线段$\overline{AB}$和$\overline{BC}$、$\overline{BC}$和$\overline{CD}$相邻，使得$\overline{AB}$是$\overline{BC}$的三倍，$\overline{BC}$是$\overline{CD}$和$AD = 36$cm的两倍。确定段 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 的测量值。
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$AB = 24$ 厘米、$BC = 8$ 厘米和 $CD = 4$ 厘米。
令$P$、$A$、$Q$和$B$依次为直线$r$上排列的点。如果$\overline{PA}$和$\overline{QB}$是全等线段，则证明$\overline{PQ}$和$\overline{AB}$全等。
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按和输出：$\overline{PQ} = \overline{PA} + \overline{AQ}$和$\overline{AB} = \overline{AQ} + \overline{QB}$；如$\overline{PA} \equiv \overline{QB}$，紧随$\overline{PQ} \equiv \overline{AB}$。
如果 $A$、$B$ 和 $C$ 是共线点，则确定 $AC$，其中 $AB = 20$ cm 和 $BC = 12$ cm。
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$AC = 8$ 厘米或 $AC = 32$ 厘米。
$\overline{AB}$和$\overline{BC}$是两个相邻的段。如果$\overline{AB}$是$\overline{BC}$和$AC = 42$cm的五倍数，则确定$AB$和$BC$。
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$AB = 35$ 厘米和 $BC = 7$ 厘米。
作为$\overline{AB}$和$\overline{BC}$连续的共线线段，$\overline{AB}$是$\overline{BC}$和$AC = 45$cm的四倍，确定$AB$和$BC$。
*提示：*连续和共线不一定是相邻的 - $C$ 可以位于 $A$ 和 $B$ 之间。
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（$AB = 36$ 厘米和 $BC = 9$ 厘米）或（$AB = 60$ 厘米和 $BC = 15$ 厘米）。
在直线 $r$ 上，取线段 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 以及一点 $P$，使得 $\overline{AB}$ 是 $\overline{PC}$ 的五倍数，$\overline{BC}$ 是 $\overline{PC}$ 和 $AP = 80$ cm 的四倍数。将$M$和$N$分别作为$\overline{AB}$和$\overline{BC}$的中点，确定$MN$。
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$MN = 36$ cm、$45$ cm 或 $20$ cm，具体取决于点的位置。
设四个点$A$、$B$、$C$、$D$按顺序排列在同一条直线$r$上，并且$\overline{AB}$和$\overline{CD}$全等。证明线段 $\overline{AD}$ 和 $\overline{BC}$ 具有相同的中点。
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$(\overline{BM} \equiv \overline{MC},\ \overline{AB} + \overline{BM} = \overline{AM},\ \overline{MC} + \overline{CD} = \overline{MD},\ \overline{AB} \equiv \overline{CD}) \Rightarrow \overline{AM} \equiv \overline{MD}$，其中 $M$ 是 $\overline{BC}$ 的中点。
设四个点$A$、$B$、$C$、$D$按顺序排列在同一条直线上，并且线段$\overline{AC}$和$\overline{BD}$全等。证明线段 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 相等，并且线段 $\overline{BC}$ 和 $\overline{AD}$ 具有相同的中点。
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$(\overline{AB} = \overline{AC} - \overline{BC},\ \overline{CD} = \overline{BD} - \overline{BC},\ \overline{AC} \equiv \overline{BD}) \Rightarrow \overline{AB} \equiv \overline{CD}$。然后，进行练习 23。
设$M$和$N$分别为包含在同一直线中的线段$\overline{AB}$和$\overline{BC}$的中点，即$\overline{AB} \equiv \overline{BC}$和$A \neq C$。证明 $\overline{MN}$ 与 $\overline{AB}$ 全等。
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当$AB = BC = 2a$和$B$位于$A$和$C$之间时：$MN = MB + BN = a + a = 2a = AB$。
接下来的三个练习可以在下图中进行探索。选择练习并拖动点：关系继续适用于所有位置。
给定同一条直线上的三个点 $A$、$B$、$C$，让我们考虑线段 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 的中点 $M$ 和 $N$。证明 $\overline{MN}$ 等于线段 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 的半和或半差。
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如果$B$在$A$和$C$之间：$MN = \dfrac{AB + BC}{2}$（半和）。否则：$MN = \dfrac{|AB - BC|}{2}$（半差）。
令 $\overline{AB}$ 为直线段，$M$ 为其中点。让我们考虑点 $M$ 和 $B$ 之间的点 $P$。证明 $PM$ 由 $PA$ 和 $PB$ 之间的正半差给出。
看书上的解决办法
表示$2a$对$\overline{AB}$的测量，以及$x$对$\overline{PM}$的测量，我们有$AM = MB = a$和
$$PA = a + x \quad\text{e}\quad PB = a - x \ \Longrightarrow\ PA - PB = 2x \ \Longrightarrow\ PM = x = \frac{PA - PB}{2}.$$让我们考虑直线 $r$ 上的固定线段 $\overline{AB}$ 和移动点 $P$。设$M$为$\overline{AP}$的中点，$N$为$\overline{BP}$的中点。关于段 $\overline{MN}$ 我们能说些什么？
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$\overline{MN}$ 具有恒定的测量值：$MN = \dfrac{AB}{2}$，无论 $P$ 的位置如何。