Euler's Eyes
2026-10-11
竞争直道
两条不同的相交线恰好有一个共同点。这似乎是显而易见的——这正是它花了这么长时间才写出来的原因。
谁发现的
希腊几何学家一直在使用这一事实，但欧几里得并没有将其纳入他的假设中。一些旧版本的几何原本添加了短语“两条直线不包含空格”来弥补差距；语言学家 J. L. Heiberg 在 19 世纪末对这部作品进行了批判性的编辑，他认为这段摘录是后来添加的。现代版本来自大卫·希尔伯特的重合公理 (1899)：如果两条不同的直线有两个公共点，则它们将与两点确定一条直线的假设相矛盾。
故事
这个例子展示了几何学是如何成熟的。绘图可以让任何人相信两条直线相交于一点，但绘图并不能证明。古代和中世纪的评论家指出了欧几里得对这个人物的信任点。在 19 世纪，这些观点被转化为公理或定理。
今天的演示符合一句话：只需使用确定假设。这是用荒谬证明的第一个很好的例子，这种方法将在本书中多次出现。
在日常生活中
- 十字路口。 两条笔直的街道在一个十字路口交汇；地址“A 街和 B 街的拐角处”标识了一个地点。
- **找到一幅画的中心。**用绳子标记矩形的两条对角线：唯一的交点是中心，即钉子所在的位置。
- **瞄准器和十字线。**瞄准镜或相机的十字线使用两条相互竞争的直线来标记目标上的精确点。
- **剪刀。**刀片围绕唯一的公共点（螺钉）旋转。
来源： 元素，第一本书 (D. Joyce) · 希尔伯特 (MacTutor)。
理论与结构
Definição竞争直道
当且仅当两条线有一个共同点时，它们才是并发的：
$$r \cap s = \lbrace P \rbrace$$有竞争的直道吗？这些假设允许我们构建它们。按照演示然后重做图中的搭建即可。
竞争直道的存在
- 根据存在性假设，我们取一条直线$r$、一个点$P \in r$和一个点$Q \notin r$。
- $P$ 和 $Q$ 是不同的，因为其中一个属于 $r$，而另一个则不属于。
- 根据确定假设，$P$和$Q$确定直线$s = \overleftrightarrow{PQ}$。
- 行 $r$ 和 $s$ 是不同的：如果它们重合，$Q$ 将位于 $r$ 中，但它被选择在 $r$ 之外。
- 不同的线 $r$ 和 $s$ 具有共同点 $P$。如果它们有另一个公共点，它们将是同一条直线（确定假设）。因此$r \cap s = \lbrace P \rbrace$：$r$和$s$是竞争对手。
Resumo保留什么
| 主意 | 简短声明 |
|---|---|
| 原始观念 | 点、线、面没有定义 |
| 存在假设 | 直线上、直线外、平面内有无穷多个点 |
| 直线的确定 | 两个不同的点确定一条直线 |
| 计划的确定 | 三个不共线的点确定一个平面 |
| 包容性 | 平面内有两点的直线包含在其中 |
| 竞争对手 | 有一个公共点的两条线 |