Euler's Eyes
2026-10-11
原始命题
如果点、线、面没有定义，就需要有人告诉游戏规则。这些规则就是假设。
谁发现的
用未经证明就接受的陈述开始理论的想法是希腊语。 亚里士多德（公元前 4 世纪）已经讨论了为什么每一种论证科学都需要初始原理，而欧几里得在几何原本中将其付诸实践，以五个假设开始了这部作品——第一个假设可以从一个点到另一个点画一条直线。在 1899 中，David Hilbert 完成了大约二十条公理的列表，其中包括欧几里得在没有说明的情况下使用的规则。
故事
欧几里得的方法在二十多个世纪中取得了成功： 元素 它是从先前的假设或定理推导出来的。这就是为什么这部作品直到 20 世纪都被用作教科书，并成为其他领域的典范——牛顿组织了 开始 斯宾诺莎写下了他的 伦理 “以几何学家的方式”。
在 19 世纪，数学家意识到 几何原本 的一些证明取决于图中“看到”的事实，而不是假设中的事实。希尔伯特将所有事物重新组织成组——关联、顺序、同余、平行和连续——而本章的假设（存在、决定和包含）是他的关联公理的版本。
在日常生活中
- 三腿桌子不会摇晃。 三个不共线的点确定一个平面：这就是相机三脚架和挤奶凳在任何地板上都能稳固站立的原因。
- 梅森线。 两个钉子和一根拉长的绳子足以标记墙壁的对齐方式 - 两个点确定一条直线。
- **游戏规则。**没有人证明象是沿对角线移动的；这是国际象棋的规则。这些假设的工作方式相同：它们是公认的规则，其余的是结果。
来源： 欧几里德 (MacTutor) · 元素，假设 1 · 希尔伯特 (MacTutor)。
理论与结构
几何命题（性质、陈述）通过演示被接受。 原始命题 - 称为假设或公理 - 被接受无需证据。
我们从一些与点、直线和平面相关的假设开始平面几何。
Postulado存在假设
- 在一条直线上以及直线之外，有无数个点。
- 平面内有无穷多个点。
“无限点”一词的意思是“我们想要多少点”。
为了指示点是否在直线上，我们使用符号 $\in$（属于）和 $\notin$（不属于）。下图中，$A$、$B$、$P$在$r$中； $R$、$S$ 和 $M$ 不是：
$$A \in r,\quad B \in r,\quad P \in r \qquad\text{e}\qquad R \notin r,\quad S \notin r,\quad M \notin r.$$两点和点线位置
给定两个点 $A$ 和 $B$，只有两种可能性：要么它们重合（$A = B$：它是具有两个名称的单个点），要么它们不同（$A \neq B$）。
给定一个点 $P$ 和一条线 $r$，也有两种可能性：$P$ is 在 $r$ 中（$P \in r$，线经过 $P$）或 $P$ 不是 在 $r$ 中（$P \notin r$）。
Definição共线点
共线点是属于同一条直线的点。
拖动下图中的点$P$。在直线上时，$A$、$B$、$P$共线。在它之外，这三个点确定一个平面——下一个假设的主题。
Postulado决心假设
a) 直线。 两个不同的点确定一条穿过它们的直线。
$$A \neq B,\ A \in r,\ B \in r \ \Longrightarrow\ r = \overleftrightarrow{AB}$$b) 从平面。 三个不共线的点确定穿过它们的单个平面。我们用$(A, B, C)$表示这个计划。
表述“两条重合直线”相当于“一条直线”。这就是为什么该公设还说：如果两条直线有两个不同的共同点，它们就重合。
下图是该假设的实验室。单击网格以创建点并查看它们确定了多少条不同的线。对于 $n$ 点，没有三个共线，每对点给出不同的直线：它们是 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 直线。当三个或更多点对齐时，它们会确定一条直线，并且总数会减少。
Postulado包含假设
如果一条直线在平面上有两个不同的点，则它包含在该平面内：
$$A \neq B,\ r = \overleftrightarrow{AB},\ A \in \alpha,\ B \in \alpha \ \Longrightarrow\ r \subset \alpha$$Definição共面点和图形
- 共面点是属于同一平面的点。
- Figure 是任意一组点。
- 平面图形是所有点都在同一平面上的图形。
平面几何研究平面图形。