来源： FUVEST 2021，第二阶段，第二天（数学测试），问题 M01 至 M05。 FUVEST 集合中提供了官方证明。 FUVEST没有发布第二阶段的模板；以下决议是我们的。

问题1：停车监控

一个矩形停车场的尺寸为 40 米 x 100 米，其中安装了覆盖特定区域的安全摄像头。该问题涉及计算面积和百分比。

业主安装了如图所示分布的4个监控摄像头。摄像机覆盖以下区域：

  • **区域I：**相机A覆盖的区域。
  • 区域 II： 摄像机 B 和 C 覆盖的区域。
  • 区域 III： 相机 D 覆盖的区域。

a) 确定区域I的面积。

区域 I 是一个直角三角形，斜边为 50 米（图中所示的线段），边为 40 米（停车场的宽度）。它是类型为 3、4、5（30、40、50）的三角形，因此另一边的尺寸为 30 米。

区域 I 是一个底边为 30 米、高为 40 米的三角形。三角形面积的公式为：

$$ A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} $$

替换值：

$$ A_\text{I} = \frac{30 \cdot 40}{2} = 600 \text{m}^2 $$

区域 III 也是一个三角形，底为 30 米，高为 40 米。我们使用相同的公式：

$$A_\text{III} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$$

替换值：

$$A_\text{III} = \frac{30 \cdot 40}{2} = 600 \text{m}^2$$

b) 确定区域II的面积。

II区是I区和III区未覆盖的停车场的中心部分。我们可以间接计算：

$$ A_\text{II} = A_\text{total} - (A_\text{trapézio I} + A_\text{trapézio III}) $$

停车总面积为：

$$ A_\text{total} = 100 \cdot 40 = 4000 \text{m}^2 $$

我们替换这些值：

$$ A_\text{II} = 4000 - \left(\frac{(5+30)\times 40}{2} + \frac{(10+30)\times 40}{2}\right) = 4000 - (700+800) = 2500 \text{m}^2 $$

c) 没有摄像头监控的停车区域的百分比是多少？

未监控区域是总面积与摄像机覆盖区域总和之间的差值 ($A_\text{I} + A_\text{II} + A_\text{III}$)：

$$ A_\text{não} = (A_\text{triângulo não I} + A_\text{triângulo não III}) = \frac{5\times 40}{2} + \frac{10\times 40}{2}= 300 \text{m}^2 $$

未设防区域占总面积的百分比为：

$$ \text{Porcentagem não vigiada} = \frac{A_\text{não}}{A_\text{total}} \cdot 100 $$

我们替换这些值：

$$ \text{Porcentagem não vigiada} = \frac{300}{4000} \cdot 100 = 7,5\% $$

问题 2：

给出了笛卡尔平面 $ P_1 = (3, 3) $、$ P_2 = (5, 1) $、$ P_3 = (3, -1) $ 和 $ P_4 = (-2, 5) $ 上的点。解决：

  1. 求通过$ P_3 $且与通过$ P_1 $和$ P_4 $的直线平行的直线方程。
  2. 确定经过点$ P_1 $、$ P_2 $和$ P_3 $的圆的方程。
  3. 以$ \mathcal{C} $为项目(2)的周长，$ Q $为$ \mathcal{C} $与最接近原点的轴$ x $的交点，确定$ Q $中$ \mathcal{C} $的切线方程。

(a) 通过$ P_3 $且与通过$ P_1 $和$ P_4 $的线平行的方程

  1. 通过 $ P_1(3, 3) $ 和 $ P_4(-2, 5) $ 的直线的斜率 ($ m $) 为：

    $$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 3}{-2 - 3} = -\frac{2}{5} $$

  2. 穿过 $ P_3(3, -1) $ 并具有 $ m = -\frac{2}{5} $ 的直线方程由下式给出：

    $$ y - y_0 = m(x - x_0) $$

    替换 $ x_0 = 3 $、$ y_0 = -1 $ 和 $ m = -\frac{2}{5} $：

    $$ y - (-1) = -\frac{2}{5}(x - 3) $$

    $$ y + 1 = -\frac{2}{5}x + \frac{6}{5} $$

    $$ y = -\frac{2}{5}x + \frac{6}{5} - 1 = -\frac{2}{5}x + \frac{1}{5} $$

    检查：对于$ x = 3 $，$ y = -\frac{6}{5} + \frac{1}{5} = -1 $，即点$ P_3 $。

响应： $ y = -\frac{2}{5}x + \frac{1}{5} $，即$ 2x + 5y - 1 = 0 $

(b) 经过$ P_1(3, 3) $、$ P_2(5, 1) $、$ P_3(3, -1) $的圆方程

圆的一般方程为：

$$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

  1. 我们将这些点的坐标代入以形成方程组：

    • 对于 $ P_1(3, 3) $：

      $$ 9 + 9 + 3D + 3E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 18 + 3D + 3E + F = 0 \quad (1) $$

    • 对于 $ P_2(5, 1) $：

      $$ 25 + 1 + 5D + E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 26 + 5D + E + F = 0 \quad (2) $$

    • 对于 $ P_3(3, -1) $：

      $$ 9 + 1 + 3D - E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 10 + 3D - E + F = 0 \quad (3) $$

  2. 我们解决系统：

    • 从 (2) 减去 (1)：

      $$ 8 + 2D - 2E = 0 \quad \Rightarrow \quad D - E = -4 \quad (4) $$

    • 从 (3) 减去 (1)：

      $$ -8 - 4E = 0 \quad \Rightarrow \quad E = -2 \quad (5) $$

    • 我们将 (4) 中的 $ E = -2 $ 替换为：

      $$ D + 2 = -4 \quad \Rightarrow \quad D = -6 $$

    • 我们将 (1) 中的 $ D = -6 $ 和 $ E = -2 $ 替换为：

      $$ 18 - 18 - 6 + F = 0 \quad \Rightarrow \quad F = 6 $$

  3. 圆方程为：

    $$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0$$

    $$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 {\color{red}{+4}}= 0 {\color{red}{+4}}$$

    $$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9+1= 4$$

    $$(x-3)^2 + (y-1)^2= 4$$

响应： $ (x-3)^2 + (y-1)^2= 4 $

(c) 最接近原点的圆的切线方程

  1. 圆与轴 $ x $ 的交点： 我们将 $ y = 0 $ 代入等式中：

    $$ x^2 - 6x + 6 = 0 $$

    我们决心：

    $$ \Delta = (-6)^2 - 4(1)(6) = 36 - 24 = 12 $$

    $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} $$

    距离原点最近的点是：

    $$ Q = (3 - \sqrt{3}, 0) $$

  2. 切线斜率： 该圆的圆心位于 $ (3, 1) $。连接中心到点$ Q $的半径的角度系数为：

    $$ m_\text{raio} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 1}{(3 - \sqrt{3}) - 3} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

    切线（垂直于半径）的角度系数为：

    $$ m_\text{tangente} = -\sqrt{3} $$

  3. 切线方程： 我们将$ Q = (3 - \sqrt{3}, 0) $和$ m_\text{tangente} = -\sqrt{3} $代入直线公式：

    $$ y - y_0 = m(x - x_0) $$

    $$ y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3} - 3 $$

响应： $ y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3} - 3 $

问题 3：

给出线性系统：

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ px + qy = 2 \end{cases} $$
其中 $ p $ 和 $ q $ 是实数。解决以下几项：
  1. 确定$ p $和$ q $的所有值，使得系统是可能且不确定的（有多个解）。
  2. 确定$ p $和$ q $的所有值，使得系统有$ (x, y) $和$ x = 0 $的解。
  3. 确定$ p $和$ q $的所有值，使系统无解。

(a) 可能且不确定的系统

如果两个方程是线性相关的，即一个方程是另一个方程的倍数，则线性系统是可能且不确定的。出现这种情况时：

$$ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} = \frac{2}{5} $$

我们根据这个比例计算$ p $和$ q $：

  1. 根据关系 $ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} $，我们有：

    $$ q = \frac{3}{2}p $$

  2. 根据关系 $ \frac{p}{2} = \frac{2}{5} $，我们有：

    $$ p = \frac{4}{5} $$

  3. 我们将 $ p $ 替换为 $ q = \frac{3}{2}p $：

    $$ q = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{6}{5} $$

对第 (a) 项的回答： 对于系统可能且不确定的情况，$ p = \frac{4}{5} $和$ q = \frac{6}{5} $。

(b) 使用 $ x = 0 $ 的解决方案

如果$ x = 0 $，我们代入两个方程：

$$ \begin{cases} 2(0) + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{5}{3} \\ p(0) + qy = 2 \quad \Rightarrow \quad qy = 2 \end{cases} $$

在第二个方程中，我们代入 $ y = \frac{5}{3} $：

$$ q \cdot \frac{5}{3} = 2 \quad \Rightarrow \quad q = \frac{6}{5} $$

这里，$ p $可以取任何值，因为$ x = 0 $不依赖于$ p $。

对第 (b) 项的回答： 对于系统有解$ (x, y) $与$ x = 0 $、$ q = \frac{6}{5} $和$ p $可以是任何实数。

(c) 无解的系统

当方程组不一致时，即$ x $和$ y $的系数成正比，但独立项不成正比，系统将是不可能的（无解）。出现这种情况时：

$$ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} \neq \frac{2}{5} $$

  1. 根据关系 $ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} $，我们有：

    $$ q = \frac{3}{2}p $$

  2. 为了保证不一致，$ \frac{p}{2} \neq \frac{2}{5} $，即：

    $$ p \neq \frac{4}{5} $$

项目响应 (c)： 使得系统无解$ q = \frac{3}{2}p $和$ p \neq \frac{4}{5} $。

问题 4

某工业园区24的污水系统结构如图所示。 $ O $ 点的检查服务检测到一种违禁物质，该物质可能以相同的概率来自任一行业。为了起诉不规范行业，该部门决定采取以下策略：第一天在$ A, B, C, D, E $和$ F $点采集的样本使用6检测试剂盒，第二天在第一天确定为污染群体的所有行业出口处进行同样的检测。检查部门检查的场景之一是恰好有四个不规则行业。

a) 园区内24个产业中恰好有4个不规则产业的分布方式有多少种？

b) 如果正好有四个不规则行业，那么这两天检测试剂盒的总支出为22的概率是多少？

c) 如果正好有四个不规则行业，那么这两天使用的检测试剂盒的总支出为14或更少的概率是多少？

套件如何使用。 从图中可以看出，每个点$ A, \dots, F $接收来自4个行业的污水，形成6组4。第一天总是有6套件。第二天，每个受污染组都需要花费 4 套套件（组中每个行业一套）。如果 $ k $ 组被污染：

$$ \text{Total de kits} = 6 + 4k $$

(a) 4个不规则行业的分布方式

只需从 24 行业中选择 4，无论顺序如何：

$$ \binom{24}{4} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\thinspace 626 $$

答案 (a)： $ 10\thinspace 626 $ 形状。

(b) 22 个套件的总支出

$$ 6 + 4k = 22 \quad \Rightarrow \quad k = 4 $$

也就是说，4个不规则行业分在4个不同的组中，每组一个。来计数：

  • 在6：$ \binom{6}{4} = 15 $中选择4个污染群体；
  • 在每一组中，选择 4 行业中的哪一个是不规则行业：$ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4 = 256 $。
$$ \text{Casos favoráveis} = 15 \cdot 256 = 3\thinspace 840 $$$$ P = \frac{3\thinspace 840}{10\thinspace 626} = \frac{640}{1\thinspace 771} \approx 0{,}361 $$

响应 (b)： $ \dfrac{640}{1\thinspace 771} \approx 36{,}1\% $。

(c) 总支出不超过 14 个套件

$$ 6 + 4k \leq 14 \quad \Rightarrow \quad k \leq 2 $$

由于存在不正规行业，$ k \geq 1 $。我们统计一下两种情况：

  • **$ k = 1 $（同一组中的4不规则体）：**我们选择组，整个组都是不规则组：

    $$ \binom{6}{1} \cdot \binom{4}{4} = 6 \cdot 1 = 6 $$

  • $ k = 2 $（4 不规则分布正好分布在 2 组中）： 我们选择 2 组、$ \binom{6}{2} = 15 $。在这些组中的 8 行业中，我们选择了 4、$ \binom{8}{4} = 70 $，但我们忽略了 2 案例，其中 4 全部位于一个组中（这些案例位于 $ k = 1 $ 案例中）：

    $$ 15 \cdot (70 - 2) = 15 \cdot 68 = 1\thinspace 020 $$
$$ P = \frac{6 + 1\thinspace 020}{10\thinspace 626} = \frac{1\thinspace 026}{10\thinspace 626} = \frac{171}{1\thinspace 771} \approx 0{,}097 $$

响应 (c)： $ \dfrac{171}{1\thinspace 771} \approx 9{,}7\% $。

会议： 案例 $ k = 3 $ 具有 $ \binom{6}{3} \cdot 3 \cdot \binom{4}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 20 \cdot 288 = 5\thinspace 760 $ 分布。将所有情况相加，得到$ 6 + 1\thinspace 020 + 5\thinspace 760 + 3\thinspace 840 = 10\thinspace 626 $，即(a)项的总和。

问题 5

平面图形的周长是其轮廓的长度。平面图形的直径是该图形轮廓上两点之间的最大距离。计算下列情况下每个平面图形的周长与直径之比：

a) 边长为 3 和 4 的矩形。

b) 钝角三角形$ ABC $如图1所示。

c) 半径为 $ r $ 的圆内的彩色区域如图 2 所示。

(a) 边长为 3 和 4 的矩形

  • 矩形周长： $$ P = 2 \cdot (3 + 4) = 14 $$
  • 矩形的直径（对角线，由毕达哥拉斯定理计算）： $$ D = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 $$
  • 原因： $$ \frac{P}{D} = \frac{14}{5} = 2{,}8 $$

答案(a)： 矩形的周长与直径之比为$ 2{,}8 $。

(b) 钝角三角形 $ \triangle ABC $

令$ H $为相对于$ B $（图中直角顶点）的高度的脚，$ CH = BH = \ell $。

  • $\Delta CHB$
$$(BC)^2 = \ell^2+ \ell^2$$

$$(BC) = \ell\sqrt{2}$$
  • $\Delta AHB$
$$(AB)^2 = (2\ell)^2+ \ell^2$$

$$(AB) = \ell\sqrt{5}$$

  • 三角形周长：

    $$ P = AB + BC + CA = \ell\sqrt{5} + \ell\sqrt{2} + \ell $$

  • 三角形直径（两个顶点之间的最大距离）：

    • $ AB = \ell\sqrt{5} $ 是三角形的最长边，因此 $ D = AB = \ell\sqrt{5} $。

  • 原因：

    $$ \frac{P}{D} = \frac{\ell\sqrt{5} + \ell\sqrt{2} + \ell}{\ell\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{10} + 5}{5} $$

答案 (b)： 三角形的周长与直径之比为$ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{10} + 5}{5} $。

(c) 半径$ r $圆内的彩色区域

  • 彩色区域的周长：

    • 着色区域的轮廓由弧和弦（垂直线段）形成。
    • 绳子在圆外切出 $ 120^\circ $（虚线）的弧线。彩色弧测量 $ 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ $： $$ \text{arco} = \frac{240^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi r = \frac{4\pi r}{3} $$

  • Corda（由两个半径和弦形成的三角形的余弦定律）：

    $$ (AB)^2 = r^2+ r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 120^\circ $$
$$AB = r\sqrt{3}$$

周长由下式给出：

$$P = \frac{4\pi r}{3} + r\sqrt{3}$$

  • **直径：**该区域包含圆上两个直径相对的点（例如，弦的底端和与它相对的圆弧上的点），因此最大距离为 $ D = 2r $。

  • 原因：

    $$ \frac{P}{D} = \frac{\frac{4\pi r}{3} + r\sqrt{3}}{2r} = \frac{4\pi + 3\sqrt{3}}{6} $$

响应 (c)： 着色区域的周长与直径之比为$ \frac{4\pi + 3\sqrt{3}}{6}$。