本章从一行计算一路追踪等号，直到一个完整的证明。下面的指南汇集了有助于阅读这两者的问题。

关于等号的五个问题

  1. 它是在提问、断言，还是命名？ 如果是提问，它是方程，任务是求出解。如果它对所有值都断言成立，它是恒等式，任务是证明它。如果是命名，它是定义，任务是接受它、记住它。
  2. 两边的涵义相同，还是只有指称相同？ 涵义相同，这个等式就是空的。涵义不同，它就教了点什么，值得问一问教了什么。
  3. 是真正的相等，还是等价？ $\frac12=\frac24$ 对数来说是相等，对分数来说是等价。$17\equiv2\pmod5$ 说的是两个不同的数落进了同一个抽屉。
  4. 在这里我能用一边替换另一边吗？ 在计算内部，总是可以。在谈论某人知道或写下了什么的句子里，不一定。
  5. 三条定律成立吗？ 如果关系不对称（$:=$，大 $O$ 的 $=$）或不传递（$\approx$），它就不是真正的等号，$A=B=C$ 这样的链就不再管用。

关于证明的五个问题

  1. 到底断言了什么？ 找出陈述和其中的字母：哪些是任意的，哪些是给定的。
  2. “设”在哪里？ 那是一般变成特殊的地方。检查一下：除了陈述给出的条件，对这个特殊情形没有作任何额外假设。
  3. 各行之间是哪种箭头？ 一串 $=$ 和 $\Leftrightarrow$ 可以双向阅读。一串 $\Rightarrow$ 只能从头读到尾。
  4. 每个假设在哪里打开、在哪里关闭？ 每出现一个“假设”，就去找它在哪里结束。在里面引入的字母，在外面不存在。
  5. 省略了什么？ 每个“容易看出”、每个省略号、每个“同理”，都是读者应当能够补上的一步。

对一个简短证明的完整解读

命题。 对每个整数 $n$，$n^3-n$ 都能被 $6$ 整除。

证明。 设 $n$ 是整数。那么 $n^3-n=(n-1)\,n\,(n+1)$，是三个连续整数的乘积。三个连续整数中，有一个是 $3$ 的倍数，并且至少有一个是偶数。所以这个乘积是 $2$ 的倍数，也是 $3$ 的倍数，因而是 $6$ 的倍数。$\blacksquare$

  1. 陈述谈的是每一个整数：$n$ 是一个推广的数。
  2. **“设 $n$ 是整数”**是欧几里得的设定。除了是整数，对 $n$ 没有任何假设。
  3. $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ 是一个恒等式，由链 $(n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=n^3-n$ 证明。这里的等号把一种写法换成涵义更有用的另一种：因式分解的形式显示出三个连续数，原来的形式则没有。
  4. **“三个连续整数中，有一个是 3 的倍数”**是一个未加证明就援引的事实。它背后是一种等价：模 $3$ 时，三个连续数分别落进 $0$、$1$、$2$ 三个抽屉，每个抽屉一个。
  5. **“所以……因而”**标出两个 $\Rightarrow$ 步骤。第二步用到了 $2$ 和 $3$ 没有公约数，这也是一个被省略的事实。
  6. $\blacksquare$ 结束证明，把读者带回一般的陈述。

术语表

  • 相等。 两个指向同一对象的表达式之间的关系。满足自反性、对称性和传递性。
  • 涵义与指称。 表达式的指称是它所指的对象；涵义是它呈现这个对象的方式。$2^{10}$ 和 $1024$ 指称相同，涵义不同。
  • 方程。 含字母、被当作问题来读的等式：哪些值使它成立？它的解集就是答案。
  • 恒等式。 对字母的所有取值都成立的等式。有时写成 $\equiv$。
  • 定义。 给一个表达式命名的等式。有时写成 $:=$。
  • 等价关系。 满足自反、对称、传递的关系。它把对象分成等价类。
  • 同余。 当 $m$ 整除 $a-b$ 时，$a\equiv b\pmod m$。余数的等价关系，由高斯于 1801 年引入。
  • 蕴含。 $P\Rightarrow Q$：只要 $P$ 为真，$Q$ 也为真。
  • 逻辑等价。 $P\Leftrightarrow Q$：$P$ 和 $Q$ 恰好在相同的情形下为真。读作“当且仅当”。
  • 增根。 在求解过程末尾出现、却不满足原方程的解，由一个不是 $\Leftrightarrow$ 的 $\Rightarrow$ 步骤引入。
  • 演算式证明。 每一环都带有理由的等式链。
  • 反证法。 假设与要证结论相反的命题，并推出矛盾的证明。
  • 数学归纳法。 分奠基和递推两部分，证明某命题对所有自然数成立的方法。
  • 反例。 使一个一般命题不成立的单个情形。一个就足以推翻它。
  • Q.E.D. 与 $\blacksquare$。 证明结束的标记：quod erat demonstrandum 和哈尔莫斯的墓碑。
练习：用关于等号的指南

读 $\displaystyle\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$。它对每个 $x$ 都作出断言：是恒等式。对每个 $x$，两边指称相同，但涵义不同：左边谈的是倍角，右边谈的是单角。如果当作方程来读，“哪些 $x$ 使它成立？”的答案是“全部”。如果有人写 $\cos2x=1$，那才是一个问题，答案是 $x=k\pi$，$k$ 为整数。

练习：用关于证明的指南

找出被省略的一步：“若 $n^2$ 是偶数，则 $n$ 是偶数。证明：如果 $n$ 是奇数，$n=2k+1$，那么 $n^2=4k^2+4k+1$ 是奇数。$\blacksquare$”

这个证明打开了一个假设（“如果 $n$ 是奇数”），说明它导致 $n^2$ 是奇数，然后就停在那里。被省略的是关闭的一步：“这与 $n^2$ 是偶数矛盾；所以 $n$ 不是奇数，因而是偶数”。证明还默默用到了：每个整数不是偶数就是奇数。

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