Euler's Eyes
2026-10-16
例子不是证明：欧拉、帕斯卡与归纳法
对 $n=0,1,2,3,\ldots$ 计算 $n^2+n+41$：
$$41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 61,\ 71,\ 83,\ 97,\ 113,\ 131,\ \ldots$$全是素数。一直算到 $n=39$，结果 $1601$ 仍然是素数。连续四十个情形，没有一个例外。1772 年，莱昂哈德·欧拉让人们注意到这个了不起的公式。然而，它并不只产生素数：取 $n=40$，
$$40^2+40+41=1600+40+41=1681=41^2.$$四十个例子什么也没证明。一个反例就推翻了一切。
例子的诱惑
欧拉的多项式并不是孤立的奇闻。1640 年，皮埃尔·德·费马观察到形如 $2^{2^n}+1$ 的数给出
$$3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65\,537,$$全是素数，于是猜想这种形式的数都是素数。1732 年，欧拉证明下一个数 $2^{32}+1=4\,294\,967\,297$ 等于 $641\cdot6\,700\,417$。直到今天，人们还没有找到这种形式的其他素数。
学生也感受到同样的诱惑。在 2000 年发表的一项研究中，英国研究者露露·希利和西莉亚·霍伊尔斯请大约 2500 名 14 到 15 岁的学生评价几种论证，论证的是“两个偶数之和总是偶数”。许多学生更喜欢验算例子的论证（$2+4=6$，$10+12=22$，……），因为他们看得懂；同时，他们又认为用 $2a+2b=2(a+b)$ 的代数论证才是老师会给最高分的。对他们来说，代数证明是做给老师看的形式，真正让人信服的是例子。
省略号藏着一条规则
这一页上最危险的符号，是最不起眼的那个：省略号 $\ldots$。当我们写
$$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$$时，这三个点要求读者根据几项猜出规则，并把它永远延续下去。这是一种经济的记号，同时也是一个承诺：“规律会继续下去”。但欧拉的多项式表明，规律可能会停下来。
上面的公式在前几种情形很容易验证：$1=1^2$，$1+3=4=2^2$，$1+3+5=9=3^2$。一幅图暗示了原因：每个奇数都是一层 L 形，把一个正方形变成下一个正方形。
这幅图很有说服力，但它仍然只是一幅图，只有五层。怎样把“依此类推”变成确定无疑？
帕斯卡的两条引理
最清楚的回答来自布莱兹·帕斯卡写于 1654 年的《论算术三角形》。在证明一个对三角形每一行都成立的性质时，他写道：
虽然这个命题包含无穷多种情形，我将给出一个非常简短的证明，只需假定两条引理。第一条是不言自明的：这个比例在第二条底边上成立。第二条：如果这个比例在任意一条底边上成立，那么它在下一条底边上也必然成立。
— 布莱兹·帕斯卡，《论算术三角形》，推论十二
这就是数学归纳法原理，它有两个部件。奠基：命题在第一种情形成立。递推：如果命题在某一种情形成立，那么在下一种情形也成立。有了这两个部件，命题就在所有情形成立，就像一排多米诺骨牌：第一块倒下，每一块都推倒下一块。
来看归纳法怎样用于奇数之和。
- 奠基。 $n=1$ 时：$1=1^2$。成立。
- 递推。 假设对某个 $k$ 有 $1+3+\cdots+(2k-1)=k^2$。两边加上下一个奇数 $2k+1$：
对 $k+1$ 成立。由归纳法原理，对每个 $n$ 都成立。$\blacksquare$
注意省略号发生了什么。之前，它要求读者相信规律。归纳之后，规律已经被一条明确的规则描述出来——“从 $k$ 到 $k+1$，加上 $2k+1$”——并且得到了证明。这个证明就是图中那一层 L 形，用代数写出来：$k^2+(2k+1)=(k+1)^2$。图和归纳法说的是同一件事，但只有后者一次就对所有的层都成立。
练习：欧拉的公式又失败了
不用计算器，说明 $n=41$ 时 $n^2+n+41$ 不是素数。只要提出 $41$：$41^2+41+41=41\cdot(41+1+1)=41\cdot43$。式子的形式本身就暴露了因数。$n=40$ 时，技巧不同：$40^2+40+41=40\cdot41+41=41\cdot41$。
练习：用归纳法证明高斯求和
证明对每个 $n\geq1$，$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$。
奠基： $n=1$ 时，$1=\frac{1\cdot2}2$。递推： 假设 $1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}2$。两边加上 $k+1$：
$$\frac{k(k+1)}2+(k+1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}2=\frac{(k+1)(k+2)}2,$$这正是把 $k$ 换成 $k+1$ 的公式。由归纳法原理，对每个 $n$ 都成立。$\blacksquare$