读一读这个简短的证明：

命题。 两个偶数之和是偶数。

证明。 设 $m$ 和 $n$ 是偶数。那么存在整数 $a$ 和 $b$，使得 $m=2a$，$n=2b$。所以 $m+n=2a+2b=2(a+b)$。因为 $a+b$ 是整数，所以 $m+n$ 是偶数。$\blacksquare$

去掉计算，剩下的是一副由词语构成的骨架：设、那么存在、所以、因为，以及末尾一个黑色的小方块。它们都不是“做计算”意义上的数学，却全都不可缺少。正是它们告诉读者每一行在做什么：引入一个对象、推出一个结论、援引一个事实、收尾。

欧几里得的六个部分

希腊人写证明时已经有固定的结构。五世纪的哲学家普罗克洛在注释《几何原本》时，描述了欧几里得命题的六个部分：

部分（希腊语） 作用 在上面的证明中
prótasis，陈述 一般地说出要证明什么 “两个偶数之和是偶数”
ékthesis，设定 选出一个情形并给它命名 “设 $m$ 和 $n$ 是偶数”
diorismós，限定 说明关于这个情形要证明什么 （隐含）“$m+n$ 是偶数”
kataskeué，作图 补充所需的东西 “存在 $a$ 和 $b$，使 $m=2a$，$n=2b$”
apódeixis，证明 把推论串起来 “$m+n=2(a+b)$”
sympérasma，结论 回到一般的陈述 “$m+n$ 是偶数”

最巧妙的是设定。陈述谈的是所有偶数；设定挑出两个，$m$ 和 $n$，把它们当作特定的数来处理。但由于除了“是偶数”之外，对它们没有任何假设，所以关于 $m$ 和 $n$ 证明的一切，对任何偶数都成立。“设”这个词是一般与特殊之间的桥梁。它就是第3章里那个用来推广的字母，现在在证明里上岗工作了。

这就是所要证明的

欧几里得在每个命题末尾都写一句套话：hóper édei deîxai，“这就是所要证明的”。如果命题是一个作图题，比如第1章介绍过的作等边三角形，套话就变成 hóper édei poiêsai，“这就是所要作的”。拉丁译者把两者译为 quod erat demonstrandum 和 quod erat faciendum，并缩写为 Q.E.D. 和 Q.E.F.

二十世纪，匈牙利裔美国数学家保罗·哈尔莫斯用一个符号代替了这几个字母：一个黑色小方块 $\blacksquare$。他说这个主意来自杂志，杂志用这样的记号标示一篇文章的结尾。读者把这个符号叫作墓碑，或干脆叫“哈尔莫斯”。哈尔莫斯还推广了英文缩写 iff（if and only if，“当且仅当”）。

一个更古老、如今用得较少的符号是 $\therefore$，“所以”。它出现在 1659 年瑞士人约翰·拉恩的《德语代数》中；后来英文书里又有了它倒过来的兄弟 $\because$，“因为”。这些符号不代表任何数学对象：它们代表的是推理的运动。

打开与关闭的词

证明中有些词像括号一样起作用。看看“不存在最大偶数”的经典证明：

证明。 用反证法，假设存在一个最大的偶数 $N$。那么 $N+2$ 也是偶数，而且 $N+2>N$。这与 $N$ 的选取矛盾。所以不存在最大的偶数。$\blacksquare$

“假设”打开一个临时的假设，而这个假设并不真：在它内部，存在这样一个 $N$。“矛盾”关闭这个假设，而随后的“所以”已经在外面了，在那里 $N$ 不再存在。在括号里，字母 $N$ 有意义；在括号外，没有。这正是第3章在求和与积分中研究过的约束字母的作用范围，现在用到了整个句子上。

看不出这些打开与关闭的读者会迷路。把上面的证明读成一串真命题的学生，会以为存在一个叫 $N$ 的最大偶数，然后被那个矛盾弄糊涂。二十世纪的逻辑学，在格哈德·根岑那里，把证明画成树，正是为了让每个假设在哪里打开、在哪里关闭一目了然。

练习：按六个部分来写

证明两个奇数之和是偶数，并标出各部分。

陈述： 两个奇数之和是偶数。设定： 设 $m$ 和 $n$ 是奇数。限定： 我们要证明 $m+n$ 是偶数。作图： 存在整数 $a$ 和 $b$，使 $m=2a+1$，$n=2b+1$。证明： $m+n=2a+2b+2=2(a+b+1)$。结论： 因为 $a+b+1$ 是整数，所以 $m+n$ 是偶数。$\blacksquare$

练习：从哪里打开，到哪里关闭？

在下面的证明中，标出临时假设从哪里开始、到哪里结束。

假设 $\sqrt2=\frac pq$，且分数已约成最简。那么 $p^2=2q^2$，所以 $p^2$ 是偶数，$p$ 也是偶数：$p=2r$。于是 $4r^2=2q^2$，$q^2=2r^2$，$q$ 也是偶数。但这样 $p$ 和 $q$ 就有公因数 $2$，与分数的选取相矛盾。所以 $\sqrt2$ 不是分数。

假设从“假设”开始，到“与分数的选取相矛盾”结束。夹在两者之间的一切——$p$、$q$、$r$——只存在于括号之内。最后的“所以”在括号外面，它陈述了一个真命题，没有用到其中任何一个字母。

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