解方程

$$\sqrt{x+2}=x.$$

通常的做法是两边平方，去掉根号：

$$\begin{aligned} \sqrt{x+2}=x\quad&\Longrightarrow\quad x+2=x^2\\ &\Longrightarrow\quad (x-2)(x+1)=0\\ &\Longrightarrow\quad x=2\ \text{或}\ x=-1. \end{aligned}$$

计算全都正确，答案却不对。取 $x=2$：$\sqrt{4}=2$，方程成立。取 $x=-1$：$\sqrt{1}=1$，不等于 $-1$。原方程只有一个解，方法却找出了两个。这个闯入者是从哪里来的？

一行一个方程

解方程的人并不是在对数做计算，而是在写一串方程，每一个都由前一个得到。把一行和下一行连起来的不是等号，而是关于命题的一个断言：“如果这一个为真，那一个也为真”。逻辑为此准备了两个符号。

  • $P\Rightarrow Q$，“$P$ 蕴含 $Q$”：只要 $P$ 为真，$Q$ 也为真。但 $Q$ 可以为真而 $P$ 不为真。
  • $P\Leftrightarrow Q$，“$P$ 等价于 $Q$”：两者恰好对相同的值为真。箭头双向都成立。

在解方程时，这个区别是决定性的。如果每一步都是 $\Leftrightarrow$，最后一行的解与第一行完全相同。如果某一步只是 $\Rightarrow$，最后一行可能多出解。如果某一步只是 $\Leftarrow$，则可能少了解。

双向都成立的步骤

有些步骤总是可逆的：

步骤 为什么能退回去
两边加上同一个数 再减回去就行
两边乘以同一个不为零的数 再除回去就行
把一个式子换成与它恒等的式子 恒等式双向成立
作用一个单射函数，例如 $x\mapsto x^3$ 或 $x\mapsto e^x$ 每个结果只来自一个值

另一些则不是：

步骤 可能发生什么
两边平方 多出解：由 $a=b$ 可得 $a^2=b^2$，但 $a=-b$ 时 $a^2=b^2$ 也成立
乘以一个可能为零的式子 多出解：那个式子的零点
除以一个可能为零的式子 丢掉解：那个式子的零点

在开头的方程里，平方这一步就是一个乔装的 $\Rightarrow$。方程 $x+2=x^2$ 问的是“$\sqrt{x+2}$ 等于 $x$ 还是等于 $-x$？”，而 $-1$ 回答的是后半句：$\sqrt{1}=1=-(-1)$。这个闯入者有名字：增根。唯一的防御是回到原方程去检验。

为什么书上写 ⇔

第2章是这样解 $x+\frac x2=5$ 的：

$$x+\frac x2=5\iff\frac{3x}2=5\iff 3x=10\iff x=\frac{10}3.$$

双箭头不是装饰：它们说明没有哪一步乘了零，也没有哪一步平方。读者看到 $\iff$，就知道检验可做可不做；看到 $\Rightarrow$，就知道检验必不可少。这是一种承担了警告职责的记号。

在学校的实际做法中，箭头往往消失了，各行只是简单地堆叠起来。学生看不出安全的步骤和危险的步骤有什么不同，于是学会“因为老师要求”而检验答案，却不知道检验恰恰是把一串 $\Rightarrow$ 变成正确答案的那一步。

练习：找出增根

解 $\sqrt{2x+3}=x$。两边平方（$\Rightarrow$）：$2x+3=x^2$，$x^2-2x-3=0$，$(x-3)(x+1)=0$，$x=3$ 或 $x=-1$。检验：$x=3$ 时，$\sqrt9=3$，满足。$x=-1$ 时，$\sqrt1=1\neq-1$，是增根。解只有 $x=3$。

练习：零去哪儿了？

一个学生解 $x^3=4x$ 时两边除以 $x$：$x^2=4$，$x=\pm2$。少了一个解。正确的步骤是因式分解，它是 $\Leftrightarrow$：$x^3-4x=0\iff x(x^2-4)=0\iff x(x-2)(x+2)=0\iff x\in\{-2,0,2\}$。除以 $x$ 时默默假设了 $x\neq0$，恰好丢掉了 $x=0$ 这一情形。

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