同一个字母 $f$，三句话：

$$f(x)=x^2,\qquad f(x)=x\cdot x,\qquad f(x)=4.$$

第一句给出名字：从这里开始，$f$ 就是求平方的函数。第二句陈述规律：对每个 $x$，$f$ 的值都是 $x$ 乘 $x$。第三句提出问题：$x$ 取什么值时函数等于 $4$？答案是 $x=2$ 或 $x=-2$。

三句里的符号一模一样，读者要做的事却不一样：

类型 回答的问题 怎样处理它 例子
方程 哪些值使它成立？ 解它 $x^2=4$
恒等式 对所有值都成立吗？ 证它 $(x-2)(x+2)=x^2-4$
定义 这个名字是什么意思？ 接受它 $n!=1\cdot2\cdots n$

定义无所谓真假：它是一次命名。“证明” $n!=1\cdot2\cdots n$ 没有意义，就像证明某人叫玛丽亚没有意义一样。相反，恒等式必须证明，方程必须求解。把三份工作搞混的人，是在错误的对象上做了正确的事。

试图提醒读者的符号

几个世纪以来，好几位数学家试图给每份工作一个专门的符号。

  • 用 $\equiv$ 表示恒等式。 据史学家弗洛里安·卡约里说，伯恩哈德·黎曼在 1857 年就用它表示“对所有值都相等”。物理和工程书里仍然能看到它：$\sin^2x+\cos^2x\equiv1$。
  • 用 $:=$ 表示定义。 冒号放在新名字的一边：$f(x):=x^2$ 读作“$f(x)$ 按定义等于 $x^2$”。这个符号随着程序设计语言流行起来（在那里它表示赋值），二十世纪末传进了数学书。
  • $\overset{\text{def}}{=}$ 或 $\stackrel{\triangle}{=}$。 把“定义”一词放在等号上方的变体。更明确，但用得更少。

没有一个彻底胜出。大多数书仍然处处写 $=$，依靠语境：“设”“定义”“对所有”“解”这些词，做了符号没做的工作。这是一种典型的情形：句法没说的，记号留给莫里斯意义上的语用学去说（见第2章）。

把“新生之梦”当作方程来读

代数里最有名的错误之一，是写出

$$(a+b)^2=a^2+b^2.$$

在英语里它甚至有个外号：freshman’s dream，“新生之梦”。作为恒等式，这句话是错的：取 $a=b=1$，左边是 $4$，右边是 $2$。但看看把它当作方程、当作关于 $a$ 和 $b$ 的一个问题来读时会发生什么：

$$\begin{aligned} (a+b)^2=a^2+b^2&\iff a^2+2ab+b^2=a^2+b^2\\ &\iff 2ab=0\\ &\iff a=0\ \text{ 或 }\ b=0. \end{aligned}$$

这个方程有答案，而且答案很精确：只有当两个字母之一为零时，“新生之梦”才成立。把等号读成问题，就把一个错误变成了一个发现，并且准确地显示出错误有多大。

反过来的情形也会发生。要求学生证明恒等式 $(x+1)^2-(x-1)^2=4x$ 时，有的学生会开始“解”：把所有项移到一边，化简，得到 $0=0$，然后不知道该怎么办。$0=0$ 正说明这句话对每个 $x$ 都成立：他试图求解的方程，其解集是所有的数。他已经证明了这个恒等式，自己却没有意识到。

练习：方程、恒等式还是定义？

(a) $(x+1)^2=x^2+2x+1$。(b) $(x+1)^2=9$。(c) $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$。(d) $x+1=x+2$。

(a) 恒等式：对每个 $x$ 都成立。(b) 方程：$x+1=3$ 或 $x+1=-3$，所以 $x=2$ 或 $x=-4$。(c) 组合数的定义（不过在有些书里，$\binom nk$ 被定义为“子集的个数”，这个公式就成了一个定理）。(d) 无解的方程：两边减去 $x+1$，剩下 $0=1$。

练习：√(x²) = x 是恒等式吗？

不是。取 $x=-3$，左边是 $\sqrt9=3$，右边是 $-3$。正确的恒等式是 $\sqrt{x^2}=|x|$。当作方程来读，$\sqrt{x^2}=x$ 问的是何时 $|x|=x$，答案是：对每个 $x\geq0$。解集既不是全部，也不是空集，而是半条数轴。

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