1557 年，罗伯特·雷科德发明了 $=$，理由很简单：没有什么比两条一样长的平行线更相等了（第1章讲运算符号的那一篇讲过这段历史）。这个符号流行得如此成功，以至于今天它在做许多雷科德从未想到的工作。看看这几行：

$$3+4=7,\qquad 2x+1=7,\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$$$f(x)=x^2,\qquad \tfrac12=\tfrac24.$$

每一行里的符号都一样，说的却不一样。

  • 在 $3+4=7$ 中，等号记录一个结果。这是计算器教给我们的读法。
  • 在 $2x+1=7$ 中，等号提出一个问题：哪个数能让它成立？这是一个方程。
  • 在 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 中，等号陈述一条规律，对所有的数都成立。这是一个恒等式。
  • 在 $f(x)=x^2$ 中，等号给出一个名字：从此以后，$f(x)$ 就表示 $x^2$。这是一个定义。
  • 在 $\frac12=\frac24$ 中，等号说两种不同的写法指向同一个数。

本章后面的几篇分别讨论这些工作。在那之前，值得先问一问：它们有什么共同之处？

等号的三条定律

公元前 300 年左右，欧几里得在《几何原本》的开头列出几条“公理”（共同概念），他认为这些道理明显到不需要证明。第一条是：

等于同一个量的量，彼此相等。

— 欧几里得，《几何原本》第一卷，公理 1

今天这句话叫作传递性：如果 $A=B$ 且 $B=C$，那么 $A=C$。它和另外两条一起，构成任何相等关系的画像：

性质 符号写法 文字说法
自反性 $A=A$ 每个东西都等于它自己
对称性 若 $A=B$，则 $B=A$ 天平没有偏爱的一边
传递性 若 $A=B$ 且 $B=C$，则 $A=C$ 等于同一个量的量彼此相等

正是这三条定律让我们可以把计算串起来，写成 $A=B=C=D$，并断定第一项等于最后一项。整个中学代数都依赖它们，却几乎没有人把它们说出口。

等号的亲戚

每当等号的某一份工作变得足够重要，数学就给它一个专门的符号。结果是一家长得很像的符号，每个都有自己的读法：

符号 读法 例子 对称吗？
$=$ 等于 $3+4=7$ 是
$\equiv$ 恒等于；同余于 $\sin^2x+\cos^2x\equiv1$；$17\equiv2\pmod5$ 是
$:=$ 定义为 $f(x):=x^2$ 否：新名字总在左边
$\approx$ 约等于 $\pi\approx3.14$ 是
$\cong$ 全等于（图形） $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ 是
$\sim$ 相似于 $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ 是
$\Leftrightarrow$ 等价于（命题） $2x=6\Leftrightarrow x=3$ 是

请看最后一列。$:=$ 不对称：也可以写成 $x^2=:f(x)$，但符号会变形，让新名字始终挨着冒号。而看起来最无害的 $\approx$ 藏着一个陷阱，第一道练习会说明：它不满足传递性。

破坏规则的等号

有一个等号，每个学计算机的学生都认识，它故意违反对称性。当我们写

$$n^2+n=O(n^2)$$

时，这个符号的意思是“增长得至多像”。但写 $O(n^2)=n^2+n$ 毫无意义；而且从 $n=O(n^2)$ 和 $n^2=O(n^2)$ 也没有人会推出 $n=n^2$。荷兰数学家尼古拉斯·德布鲁因把这种用法叫作单向等式。正确的符号应该是表示“属于”的 $\in$：$n^2+n\in O(n^2)$。$=$ 只是出于传统留了下来。

练习：≈ 不满足传递性

规定两个数相差小于 $0.05$ 时就“约等于”。那么 $1\approx1.04$，$1.04\approx1.08$。但 $1$ 和 $1.08$ 相差 $0.08$，所以 $1\not\approx1.08$。只要每一步足够小，一串 $\approx$ 可以从任何一个数走到任何另一个数。因此，在带近似的计算中必须一步一步地跟踪误差：每个 $\approx$ 都会累积一点。

练习：这个等号在做什么工作？

(a) $x^2-1=(x-1)(x+1)$。(b) $x^2-1=8$。(c) $g(x)=x^2-1$。(d) $9-1=8$。

(a) 陈述规律：对每个 $x$ 都成立，是恒等式。(b) 提出问题：只有 $x=3$ 和 $x=-3$ 满足，是方程。(c) 给出名字：定义函数 $g$。(d) 记录一次计算的结果。注意 (b) 和 (d) 是相连的：把 $x=3$ 代入 (b) 就得到 (d)，这正是检验一个解的方法。

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