本章表明，一个字母至少能做五种不同的工作，而写法几乎从不说明是哪一种。下面的指南汇集了有助于弄清这一点的问题。

关于一个字母的五个问题

  1. 它隐藏一个值，还是代表任意值？ 如果隐藏一个值，它就是未知数，任务是找出它。如果代表任意值，这句话就是一条普遍定律或一个恒等式。
  2. 它在问题中移动吗？ 如果是，它就是变量，值得问它依赖于谁、谁依赖于它。
  3. 别的字母移动时它保持不动吗？ 那它就是参数或常数。值得问：是永远固定，像 $\pi$，还是只在这个问题里固定，像 $ax^2$ 中的 $a$？
  4. 它被某个运算符约束吗？ 如果出现在 $\Sigma$、$\int$、$\forall$ 或 $\mapsto$ 中，它就是约束字母，可以换成别的字母而什么都不改变。
  5. 文中哪个词宣告了它的角色？ “求”“对任意”“设”“当……时”“已知”。如果一个也没有，就由这一领域的惯例来决定，最好把惯例说明白。

对 y = ax² + bx + c 的完整解读

  1. $y$ 和 $x$： 变量。$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。它们一起走遍一条抛物线上的点。
  2. $a$、$b$ 和 $c$： 参数。在问题中固定，它们选择是哪一条抛物线。$a$ 必须不为零，否则曲线就变成直线。
  3. 问题变了，角色就变了。 在“抛物线在哪里与 $x$ 轴相交？”中，我们令 $y=0$，$x$ 就成了未知数。在“哪条抛物线经过 $(1,2)$、$(2,3)$ 和 $(3,6)$？”中，参数成了未知数，$x$ 和 $y$ 成了已知数据：$a+b+c=2$，$4a+2b+c=3$，$9a+3b+c=6$，解得 $a=1$，$b=-2$，$c=3$。
  4. 没有哪个字母是哑字母。 它们都重要：把 $a$ 换成 $k$，就必须在全文中都换。

短短一行，三种不同的角色，而每个问题都会把一切重新安排。

术语表

  • 未知数。 代表一个确定而尚不知道的值的字母，这个值由问题的条件决定。在 $2x+1=7$ 中，$x=3$。
  • 推广的数。 代表某个集合中任意元素的字母，所在的句子对所有元素都成立。如 $a+b=b+a$。
  • 恒等式。 对字母的一切值都成立的等式，如 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。它不用解；要证明。
  • 变量。 走遍某个集合中各个值的字母，通常与它所依赖的或依赖它的其他字母一起变化。
  • 自变量与因变量。 在 $y=f(x)$ 中，$x$ 自由选择，$y$ 由规则决定。这种选择可能随问题而颠倒。
  • 参数。 在一个问题中固定、但在不同问题之间可以取不同值的字母。它从一个家族中选出一个成员。
  • 常数。 值永远相同的字母，如 $\pi$、$e$ 或光速 $c$。
  • 自由字母。 表达式的值所依赖的字母。在 $\sum_{k=1}^n k$ 中，是 $n$。
  • 约束字母（哑字母）。 被运算符约束、可以换成别的字母而不改变意思的字母。在 $\sum_{k=1}^n k$ 中，是 $k$。
  • 函数。 给一个集合（定义域）的每个元素指定另一个集合中唯一元素的规则。$f$ 是函数；$f(x)$ 是它在 $x$ 处的值。
  • 变量捕获。 在同一个表达式中把同一个字母既用作自由字母又用作约束字母的错误，如 $\int_0^x x\,dx$。
练习：运用这份指南

读一读 $\displaystyle V(r)=\frac43\pi r^3$。$V$ 是一个函数的名字，$V(r)$ 是它的值。$r$ 是自变量，即半径。$\pi$ 是常数。$\frac43$ 是一个数。没有约束字母。如果问题是“多大的半径给出 $36\pi$ 的体积？”，$r$ 就成了未知数：$\frac43r^3=36$，$r^3=27$，$r=3$。

练习：找出藏起来的约束字母

在定义 $f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$ 中，哪个字母是约束的？是 $h$：极限走遍它并使它消失，把它换成 $\Delta x$ 或 $t$ 什么也不改变。$x$ 是自由的，导数依赖于它。$f$ 是一个给定函数的名字。

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