这两个式子的值相同：

$$\sum_{k=1}^{4}k^2=1+4+9+16=30,\qquad\sum_{j=1}^{4}j^2=1+4+9+16=30.$$

把 $k$ 换成 $j$，什么也没变。字母在那里只是为了标出计算经过的地方；求和一结束，它就消失了。这样的字母叫作哑字母，或约束字母。它们是未知数的反面：未知数保存一个重要的值；哑字母在运算结束后不保存任何值。

自由与约束

再比较：

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$

这里有两种性质不同的字母。$k$ 被求和约束：它只存在于 $\Sigma$ 和式子结尾之间，可以换成任何别的字母。$n$ 是自由的：结果依赖于它。把 $n$ 换成 $m$，就成了另一个关于另一个数的论断。

积分里也一样：

$$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}{2}.$$

$t$ 被积分约束，$dt$ 标出它的辖域，像一个右括号。$x$ 是自由的：面积取决于积分到哪里。在逻辑的量词里也是这样：

$$\forall x\,(x+0=x)$$

$x$ 被 $\forall$ 约束，整句话不依赖任何值：它就是真的。

运算符 约束字母 辖域
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $k$ 后面的那一项
$\displaystyle\int_a^b\cdots\,dt$ $t$ $\int$ 与 $dt$ 之间
$\forall x,\ \exists x$ $x$ 后面的公式
$\lim\limits_{h\to0}$ $h$ 极限号下的表达式
$\{x\mid x>2\}$ $x$ 花括号之内
$x\mapsto x^2$ $x$ 函数的规则

捕获字母的错误

因为哑字母可以替换，就有一种危险的诱惑：用同一个字母表示两样东西。公式

$$\int_0^x x\,dx$$

是一个陷阱。上限的 $x$ 是自由的；积分里面的 $x$ 是约束的。这个式子好像在说“把 $x$ 从 $0$ 积到 $x$”，但分不清哪个 $x$ 是哪个。正确的写法把字母分开：$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}2$。在逻辑和编程中，这个错误有个名字，叫变量捕获，编程语言的编译器会自动给变量改名来避免它。

练习：自由还是约束？

在 $\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(k+a)$ 中，哪些字母是自由的？$k$ 被求和约束。$m$ 和 $a$ 是自由的。的确，结果只依赖于它们：$\sum_{k=1}^{m}(k+a)=\frac{m(m+1)}2+ma$。把 $k$ 换成 $j$ 不改变值；把 $a$ 换成 $b$ 则会改变。

练习：改正这个积分

一个学生写了 $\displaystyle F(x)=\int_0^x 3x^2\,dx$。用分开的字母重写并计算。正确的写法是 $F(x)=\int_0^x3t^2\,dt=x^3$。按学生的写法，有人可能因为“外面”的 $x$ 是固定的，就把 $3x^2$ 当成常数，得到 $3x^2\cdot x=3x^3$，这是错的。

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