在方程

$$y=ax^2+bx+c$$

中有五个字母，它们不在同一个层次上。$x$ 和 $y$ 在变：它们走遍一条抛物线上的点。在这期间，$a$、$b$ 和 $c$ 保持不动，但可以事先随意选择。每一种选择给出一条不同的抛物线。这样的字母叫作参数，来自希腊语 pará（旁边）和 métron（度量）：站在度量旁边、调节它的东西。

改变参数和改变变量不是一回事。改变 $x$，是沿着曲线走。改变 $a$，是换一条曲线：整条抛物线张开或收拢。

一个方程，一个家族

这是韦达的伟大发明，第 3 篇讲过：问题中给定的数也用字母表示。方程

$$ax^2+bx+c=0$$

不是一个方程，而是一个方程家族，每个满足 $a\ne0$ 的三元组 $(a,b,c)$ 对应一个。在这里角色很清楚：$x$ 是未知数，$a$、$b$、$c$ 是参数。公式

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

用参数表示未知数，一次就解出了整个家族。这使得我们能提出任何单独一个方程都无法提出的问题：参数取哪些值时有两个解？答案 $b^2-4ac>0$ 是关于家族的论断，而不是关于某一个方程的。

物理学的字母

物理学是参数的王国。在匀速运动中，

$$s=s_0+vt,$$

时间 $t$ 和位置 $s$ 在运动中变化，而初始位置 $s_0$ 和速度 $v$ 保持固定。但换一个运动，它们就变了。在理想气体定律 $pV=nRT$ 中，$R$ 是普适常数，对所有气体都一样；$n$ 对给定的样品是固定的；$p$、$V$、$T$ 在变。一行之中有三个层次的“不动”，却没有任何记号来区分它们。

另一种参数

更复杂的是，参数这个词还有第二种意思。在方程

$$x=\cos t,\qquad y=\sin t$$

中，字母 $t$ 叫作参数，这些方程叫作参数方程。但在这里，$t$ 并不静止：它从 $0$ 跑到 $2\pi$，跑的时候点 $(x,y)$ 画出一个圆。好像 $t$ 是时间，点是一个运动的物体。在这个意义上，参数是指挥另外两个变量的隐藏变量。

练习：k 取何值时只有一个解？

在 $x^2+kx+9=0$ 中，$x$ 是未知数，$k$ 是参数。判别式为零时只有一个解：$k^2-4\cdot9=0$，即 $k=6$ 或 $k=-6$。$k=6$ 时解是 $x=-3$；$k=-6$ 时解是 $x=3$。问题问的是参数，未知数到最后才出现。

练习：直线族 y = mx

对每个 $m$ 值，$y=mx$ 是一条过原点的直线。族中所有直线都经过 $(0,0)$，因为在那里对任何 $m$ 都有 $y=m\cdot0=0$。要让直线还经过 $(2,6)$，需要 $6=2m$，即 $m=3$。注意角色的互换：为了求参数，我们把 $x=2$、$y=6$ 当作已知，把 $m$ 当作未知数。

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