连续增加或减少的量称为变量；反之，在其他量变化时保持不变的量称为常量。

— 洛必达侯爵，《无穷小分析》（1696），定义 I

未知数是一个静止的字母：它隐藏一个值，而这个值不变。变量是一个会移动的字母。在 $y=x^2-4x+3$ 中，没有人问“$x$ 等于多少？”。问的是另一件事：“$x$ 变化时，$y$ 会怎样？”

从方程到曲线

从一种想法到另一种想法的过渡发生在十七世纪。1637 年前后，笛卡儿和费马把方程和曲线联系起来，含两个字母的方程，比如 $y=x^2$，就不再只有一个答案，而有无穷多个：组成抛物线的所有数对 $(x,y)$。$x$ 不再被寻找，而是被走遍。对每一个位置，方程都告诉我们 $y$ 在哪里。

流动的量

牛顿给这个想法赋予了一个物理形象。对他来说，变量是随时间流动的量，就像运动物体的位置，他称之为流量（fluent）；它流动的速度则是流数（fluxion）。莱布尼茨说 quantitas variabilis（可变的量），而第一本微积分教科书，洛必达 1696 年的著作，就以本页开头引用的定义开篇：变量增加或减少，常量保持不动。

这个词带着运动的形象。所以我们说“当 $x$ 趋于 $0$ 时”“$y$ 增长”“函数上升”，好像字母在走路。

一个字母依赖另一个

有了两个变量，就出现了依赖的观念。1755 年，欧拉在《微分学原理》的序言中写道：如果某些量依赖于另一些量，使得后者变化时前者也随之变化，那么前者就称为后者的函数。在 $y=x^2-4x+3$ 中：

  • $x$ 是自变量：我们可以自由选择它的值；
  • $y$ 是因变量：它的值由规则决定。

这种选择并没有写在字母里。在 $A=\pi r^2$ 中，我们通常把半径看作自变量，但如果问题是“多大的半径给出 $10$ 平方米的面积？”，角色就颠倒了：$r=\sqrt{A/\pi}$。

魏尔斯特拉斯的静止变量

运动的形象很有用，但也带来了问题。如果 $h$ 只是纸上的一个字母，“$h$ 趋于零”是什么意思？十九世纪，卡尔·魏尔斯特拉斯等人把时间从定义中去掉了。变量变成仅仅是一个可以被某个集合（它的定义域）中任何元素替换的字母。什么也不动：存在的只是所有可能替换的总和。这就是柯西与魏尔斯特拉斯的极限定义及其 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 背后的读法。

今天，两种形象并存。说“随着 $x$ 不断增大”的老师用的是牛顿的变量；书里的定义用的是魏尔斯特拉斯的变量。记号是同一个，读者需要懂得在两者之间切换。

练习：从表格找出规则

一张表记录着：$x=0\to y=1$，$x=1\to y=3$，$x=2\to y=5$，$x=3\to y=7$。$x$ 增加 $1$，$y$ 增加 $2$，而 $x=0$ 时 $y$ 等于 $1$。规则是 $y=2x+1$。注意，有限的表格永远不能证明规则：另一条规则可能在这四个点上一致，却在 $x=4$ 处不同。表格只是提示；公式才是断言。

练习：谁依赖谁？

一辆汽车以每小时 $80$ 公里行驶。行驶的距离是 $d=80t$。如果问题是“$2.5$ 小时走多远？”，$t$ 是自变量，$d=200$ 公里。如果问题是“走 $300$ 公里要多长时间？”，自变量就变成了 $d$，$t=\frac{d}{80}=3.75$ 小时。公式只有一个；依赖关系由问题来选择。

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