Euler's Eyes
2026-10-13
当位置就是算法：乘法与比例法则
上一篇文章我们看到，符号的位置是公式意义的一部分：括号、指数和分数线显示零件如何组合。有些完整的计算方法把这个想法推到了极致：每个数写在什么位置，本身就是算法。知道把数放在哪里的人，就已经会做这道题了。本站早期的文章收集了三个例子，分属三个不同的时代。
埃及人：靠加倍做乘法
三千五百多年前，埃及书吏不用乘法表就能做乘法。他们用两栏：左栏是从 $1$ 开始的 $2$ 的幂；右栏是其中一个因数，每次加倍。计算 $21\times37$：
| 1 的加倍 | 37 的加倍 | |
|---|---|---|
| ✓ | $1$ | $37$ |
| $2$ | $74$ | |
| ✓ | $4$ | $148$ |
| $8$ | $296$ | |
| ✓ | $16$ | $592$ |
在左栏中，标出加起来等于 $21$ 的那几行：$16+4+1=21$。在右栏中，只把标出的行相加：$592+148+37=777$。完成：$21\times37=777$。
这看起来像魔术，本站早期的文章问道：“这是神秘主义吗？”不是。左栏的标记把 $21$ 写成了二进制：
$$21=1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=10101_2,$$而计算不过是分配律：$21\times37=(16+4+1)\times37$。埃及书吏做二进制算术，比莱布尼茨写到它早了三千多年。他们的表就是一种记号：打了 ✓ 的行和没打 ✓ 的行，就是 1 和 0。
帕乔利：在窗格里做乘法
1494 年，方济各会修士卢卡·帕乔利在威尼斯出版了《算术、几何、比与比例概要》，这是一部收录商人需要知道的一切的百科全书。在各种乘法中，他教了一种在被对角线切开的格子里做的方法，并解释了它的名字：
我们所说的 gelosia，是指那种通常装在有女眷居住的房屋窗户上的格栅。
— 卢卡·帕乔利，《算术概要》（1494）
gelosia 是一种木制格窗，让人能看到街上，自己却不被看见。这种算法的版面就像那种格栅：
把 $23$ 的各位写在上方，$12$ 的各位写在右侧。每一格填入相交的两个数字之积，十位写在对角线上方，个位写在下方：$1\times2=02$，$1\times3=03$，$2\times2=04$，$2\times3=06$。然后沿每一条对角带从下往上相加：$6$；$4+0+3=7$；$0+0+2=2$；$0$。结果是 $0276$，也就是 $23\times12=276$。
秘密又一次在于位置。格子里的对角带就是数位：第一条装个位，第二条装十位，第三条装百位。格子自己完成了学校算法中用“进位”和“每行左移一位”所做的事。本站早期的文章还用一张数位表展示了同一道题：
| 部分积 | 百位 | 十位 | 个位 |
|---|---|---|---|
| $20\times10$ | $2$ | $0$ | $0$ |
| $3\times10$ | $0$ | $3$ | $0$ |
| $20\times2$ | $0$ | $4$ | $0$ |
| $3\times2$ | $0$ | $0$ | $6$ |
| 合计 | $2$ | $7$ | $6$ |
比例法则：买的在前，问的在后
第三个例子最有名。比例法则（三率法）诞生于印度，婆罗摩笈多在 628 年就以 trairāśika（“三个量”）之名描述过它，后来经阿拉伯人的书传到欧洲。它解决的是商业中最常见的问题：多少东西值多少钱，那么另外多少东西值多少钱？在十五到十八世纪的算术书里，它有许多名字，本站早期的文章收集了一些：
| 作者 | 年份 | 名称 |
|---|---|---|
| 《特雷维索算术》（佚名） | 1478 | la regula de le tre cose，三样东西的法则 |
| 约翰内斯·维德曼 | 1489 | regula proportionum，比例法则 |
| 卢卡·帕乔利 | 1494 | regula trium，la regola ditta de 3 |
| 克里斯托夫·鲁道夫 | 1525 | die Regel de Tri |
| 克里斯托弗·克拉维乌斯 | 1583 | regula mercatorum，商人法则 |
| J. F. 劳滕施拉格 | 1598 | gulden Regul，黄金法则 |
| 约翰·沃德 | 1771 | the golden rule，黄金法则 |
“黄金法则”这个名字说明了很多：这是商人学徒能掌握的最有价值的法则。而它是作为一份位置的配方来教的。劳滕施拉格在 1598 年的算术书里，把它编成押韵的诗句，供人背诵：
买的、值的、问的排第三：值的永远站在中间，买的在前，问的在后。用后面的数乘以中间的数，再用前面的数去除这个积，你就得到你问题的答案。
— J. F. 劳滕施拉格，《算术》（1598），关于比例法则的诗句
实际上就是这样。“如果 $3$ 厄尔布值 $12$ 弗罗林，$7$ 厄尔值多少？”学徒在一行里写：
$$\underbrace{3\ \text{厄尔}}_{\text{买的}}\quad\underbrace{12\ \text{弗罗林}}_{\text{值的}}\quad\underbrace{7\ \text{厄尔}}_{\text{问的}}$$然后照方抓药：$7\times12=84$，$84\div3=28$ 弗罗林。不需要懂比例，只要把每个数放到它的位置上就行。
今天我们把同一件事写成两个比相等，未知数一目了然：
$$\frac{3}{12}=\frac{7}{x}\quad\Longrightarrow\quad 3x=7\cdot12\quad\Longrightarrow\quad x=28.$$这种写法始于发明 $\times$ 号的威廉·奥特雷德，他在 1631 年已经用符号 $::$ 把比例中的两个比隔开，类似 $3.12::7.x$。它把位置的配方换成了一种关系。问题一变，区别就显现出来了。
位置配方失灵的地方
“四个泥瓦匠 $6$ 天砌好一堵墙。$3$ 个泥瓦匠砌同样的墙要几天？”按照劳滕施拉格的配方，买的是 $4$，值的是 $6$，问的是 $3$：$3\times6\div4=4.5$ 天。人少了反而完工更快？配方不知道数的意思，它只知道数在哪里。
这是一个反比例的问题：人越少，活儿干得越久。保持不变的是“人数乘以天数”：$4\times6=3\times x$，所以 $x=8$ 天。旧书里还有第二份配方，即“反比例法则”，位置的顺序不同，学生得猜该用哪一份。巴西的学校用另一种记号来解决这个难题：两栏数字加两个箭头，两个量一起增长时箭头同向，一个增长另一个减少时箭头反向。箭头这个符号，恰好携带了劳滕施拉格那一行所缺少的信息。
这就是本书所说的贫瘠的记号和能动的记号之间的区别。位置配方只要问题不变就管用。比的写法 $\frac ab=\frac cx$，或者积不变的写法 $a\cdot b=c\cdot x$，则表明了所假设的是哪种关系，所以问题变了也照样管用。
练习：像埃及人那样做乘法
用加倍法计算 $13\times25$。左栏：$1, 2, 4, 8$；右栏：$25, 50, 100, 200$。因为 $13=8+4+1$，把 $8$、$4$、$1$ 这几行相加：$200+100+25=325$。在二进制中，$13=1101_2$：打 ✓ 的就是数字为 $1$ 的那几行。
练习：正比还是反比？
一辆汽车以 $60$ 千米/时的速度走完一段路要 $5$ 小时。以 $75$ 千米/时的速度要多久？
位置配方会给出 $75\times5\div60=6.25$ 小时，开得更快反而用时更长，这很荒谬。速度与时间成反比：保持不变的是路程，$60\times5=300$ 千米。所以 $75\times t=300$，$t=4$ 小时。正确的问题不是“每个数放在哪里？”，而是“什么保持不变？”
资料来源： Florian Cajori，A History of Mathematical Notations · Luca Pacioli, MacTutor · Frank J. Swetz，Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century（1987）。