Euler's Eyes
2026-10-13
公式的语法：括号、顺序与空白
2019 年，一道只有四个数的算式在社交网络上流传，引发了数以百万计的争论：
$$8\div2(2+2)=\;?$$一半人回答 $16$，另一半人回答 $1$。不同品牌的计算器给出不同的答案。数学老师们也意见不一。最有意思的是：双方都有道理，各自依据一种约定。
回答 $16$ 的人从左往右读：$8\div2=4$，$4\cdot(2+2)=16$。回答 $1$ 的人认为，没有符号、“粘”在一起的乘法 $2(2+2)$ 构成一个整体，要先于除法计算：$8\div(2\cdot4)=1$。这两种约定都存在，严肃的书里也都在用。问题不在计算，而在句法：这个表达式的写法没有说清楚符号如何组合。数学家绝不会这样写；他会写成 $\frac{8}{2}(2+2)$ 或 $\frac{8}{2(2+2)}$，争论也就不存在了。
同样的零件，不同的组装
公式不是一串排队的符号，而是一种组装，组装方式本身就是意义的一部分。比较：
$$a+b\cdot c\qquad\text{和}\qquad(a+b)\cdot c.$$零件是一样的：三个字母、一个 $+$、一个 $\cdot$。但按照通常的约定，第一个式子先做乘法；第二个式子里，括号迫使我们先做加法。取 $a=2$、$b=3$、$c=4$：
括号是一种奇特的符号。它既不代表任何量，也不代表任何运算或对象。它只说明其他符号如何结合在一起。在莫里斯的分类中，它是纯粹句法性的。可它却改变了结果。
先乘后加的规则并不是自然法则，而是一种约定，它在十七到十九世纪之间确立下来，那时笛卡儿的代数开始在多项式中省去括号：写 $3x^2+2x+1$ 时，谁也不想写成 $(3\cdot(x^2))+(2\cdot x)+1$。这种约定的存在，是为了让最常见的表达式变短。
隐藏的树
每个表达式都有一个树状结构，读一个公式，归根结底就是重建这棵树。看看 $2(x+3)^2$：
如何组装 2(x + 3)²（点击继续）
- 从最“里面”的部分开始：$x+3$。
- 把结果平方：$(x+3)^2$。高高在上的小小指数，作用于整个括号。
- 乘以 $2$：$2\,(x+3)^2$。粘在左边的 $2$ 最后才起作用。
再和 $2x+3^2$ 比较一下，它的零件几乎一样。这里 $3^2$ 单独计算，$2x$ 是另一根枝杈，最后由加法把两者连起来。当 $x=1$ 时，第一个表达式得 $2\cdot16=32$，第二个得 $2+9=11$。
二维的书写大大有助于看清这棵树。比如分数线，就是一种伪装的括号：在
$$\frac{x+1}{x-1}$$中，我们不必写成 $(x+1)/(x-1)$，因为上下的位置已经显示了谁和谁组合在一起。高处的指数、横线盖住下面一切的根号，作用也一样。到了键盘上的一行里，所有这些结构都只好回到括号中，这就是为什么那么多人在电子表格里输入公式时出错。
空白也是符号
看这个表达式：$ab$。$a$ 和 $b$ 之间没有任何符号，我们却读作“$a$ 乘以 $b$”。并列——把两样东西并排放在一起——是一个看不见的乘号。但要小心：在 $23$ 中，$2$ 和 $3$ 的并列不表示 $2\cdot3$，而是二十三；在 $\sin x$ 中，字母 $s$、$i$、$n$ 不是相乘，而是组成一个函数的名字；在 $f(x)$ 中，$f$ 不是乘以 $(x)$，而是作用于它，而在 $a(x+1)$ 中，$a$ 是乘以括号。两个符号之间同样的“什么也没有”，至少有四种意思，读者要根据所涉符号的类型来判断：数字、字母、函数名。
这就是数学排版有其约定的原因。像 $\sin$、$\log$、$\exp$ 这样的常用函数名用正体，变量用斜体：这样 $\sin x$ 就不会和 $s\cdot i\cdot n\cdot x$ 混淆。正体和斜体的区别看似只是印刷细节，其实是句法。
练习：加括号
在 $2+3\cdot4-1$ 中，不加括号的结果是 $2+12-1=13$。括号加在哪里能得到 $19$？$15$ 呢？
- $(2+3)\cdot4-1=20-1=19$。
- $(2+3)\cdot(4-1)=5\cdot3=15$。
还有 $2+3\cdot(4-1)=11$。同样一串符号，可以有四种组装方式，得到不同的结果：$13$、$19$、$15$ 和 $11$。
练习：消除歧义
用分数线把 $8\div2(2+2)$ 改写成两种形式，各对应一种读法：
$$\frac82\,(2+2)=4\cdot4=16\qquad\text{和}\qquad\frac{8}{2(2+2)}=\frac88=1.$$分数线是二维的，上面是什么、下面是什么，毫无疑问。这也是数学家几乎从不使用 $\div$ 的又一个原因。