1676 年，英国人罗伯特·胡克在一本关于太阳观测镜（一种观测太阳的仪器）的书末尾，发表了一串他还不想公开的发现。其中一条是这样的：

$$\textit{ceiiinosssttuv}$$

这是一个字谜：一句拉丁文的字母被打乱，再按字母顺序排列。这是一种既能记录发现的优先权、又不把它拱手送给对手的办法。两年后的 1678 年，胡克揭晓了这句话：ut tensio, sic vis，“伸长如何，力就如何”。弹簧拉得越长，往回拉的力就越大。今天我们用四个符号写它：

$$F=-kx.$$

字谜恰恰是记号的反面：一种为了隐藏而作的书写。公式则是为了显示。同一条定律，在一百多年里从一个极端走到了另一个极端。

答案是函数的问题

在弹簧上挂一个质量为 $m$ 的物体，拉一下再松手。物体在每一时刻 $t$ 会在哪里？把胡克定律和牛顿定律 $F=m\cdot a$ 结合起来，并把加速度写成位置的二阶导数，就得到

$$m\,\frac{d^2x}{dt^2}=-k\,x.$$

这是一个微分方程。它乍看很奇怪，因为未知的不是一个数，而是一个函数：给出每一时刻位置的规则 $x(t)$。本站早期的文章把这类问题提成一个谜语：“有一个函数 $h$，它的二阶导数加上它自己等于零；这是什么函数？”答案是正弦或余弦，因为对它们中的任何一个求两次导数，都会得到它本身、只是符号相反：

$$\frac{d^2}{dt^2}\cos t=-\cos t.$$

对弹簧来说，解是 $x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$，其中 $\omega=\sqrt{k/m}$。莱昂哈德·欧拉在 1740 年代说明了如何一次解出这一整族方程，把关于函数的问题换成一个普通的代数方程。这之所以可能，是因为欧拉的 $f(x)$ 和莱布尼茨的 $\frac{d}{dx}$ 已经为函数及其导数命名：一个函数之间的方程，需要一种把函数当作对象的书写。

单位也是符号

怎么知道 $\omega=\sqrt{k/m}$ 是对的，而不是 $\sqrt{m/k}$？靠单位。常数 $k$ 度量的是单位长度上的力，$\frac{\mathrm N}{\mathrm m}=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s^2}$。除以质量，得到 $\frac1{\mathrm s^2}$，开方得到 $\frac1{\mathrm s}$：这正是一个在余弦里与时间相乘的量应有的单位，因为余弦的自变量必须是纯数。如果是 $\sqrt{m/k}$，得到的是秒，而 $\cos(\text{秒}\cdot\text{秒})$ 毫无意义。

这种核对，即量纲分析，由约瑟夫·傅里叶在 1822 年系统化，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦推广了方括号写法：$[M]$ 表示质量，$[L]$ 表示长度，$[T]$ 表示时间。力就成了 $[F]=[M][L][T]^{-2}$。本站早期的文章喜欢提醒读者，许多高考物理题光靠这条路就能解出来。从符号学的角度看，单位是粘在数上的第二层符号，这一层不是用来计算的，而是用来核对的：一个单位对不上的公式，在任何计算之前就已经错了。

∂ 与竖琴

当一个量同时依赖于好几个量时，比如气体的体积依赖于温度 $T$ 和压强 $P$，莱布尼茨的导数就需要加一句说明：“对 $T$ 求导，保持 $P$ 不变”。1786 年，法国人阿德里安-马里·勒让德提出用一个圆圆的 $d$，即 $\partial$，表示这种偏导数，但不久就放弃了。1841 年，德国人卡尔·雅可比把它重新启用，这一次它站住了脚。有了它，体积的全变化写作

$$dV=\frac{\partial V}{\partial T}\,dT+\frac{\partial V}{\partial P}\,dP,$$

本站早期的文章把这个公式叫作“热的法则”。它的形状本身就在说：总变化是各个方向上变化的和。

这个家族里最奇特的符号是 $\nabla$，一个倒过来的 $\Delta$，哈密顿在关于四元数的工作中用过它。它把各个方向上的偏导数集合成一个符号，用它可以写出拉普拉斯方程 $\nabla^2\Psi=0$，以及上一篇文章里看到的四个麦克斯韦方程。nabla 这个名字是一位研究《圣经》的朋友向彼得·格思里·泰特建议的：它是一种三角形古竖琴的希腊名字。麦克斯韦开玩笑地把这个算子叫作 atled，也就是倒过来的“delta”。

练习：弹簧的周期

一根劲度系数 $k=8\ \mathrm{N/m}$ 的弹簧挂着质量 $m=2\ \mathrm{kg}$ 的物体。则 $\omega=\sqrt{8/2}=2\ \mathrm{s^{-1}}$，运动 $x(t)=A\cos(2t)$ 在 $2t$ 增加 $2\pi$ 时重复，也就是每隔 $\pi\approx3.14$ 秒重复一次。核对单位：$\frac{\mathrm{N/m}}{\mathrm{kg}}=\frac{\mathrm{kg/s^2}}{\mathrm{kg}}=\mathrm s^{-2}$，开方得 $\mathrm s^{-1}$，正如所料。

练习：用 ∂ 做误差传递

本站早期的文章里有这样一道题：一个圆柱形罐子半径 $R=5$ cm，高 $H=9$ cm，各自的测量误差为 $0.1$ cm。体积是多少，不确定度又是多少？由于 $V=\pi R^2H$，

$$\begin{aligned}dV&=\frac{\partial V}{\partial R}\,dR+\frac{\partial V}{\partial H}\,dH=2\pi RH\,dR+\pi R^2\,dH\\&=2\pi\cdot45\cdot0.1+\pi\cdot25\cdot0.1\approx28.3+7.9.\end{aligned}$$

所以 $V\approx706.9\pm36.1\ \mathrm{cm}^3$。带 $\partial$ 的公式显示了误差的每一部分从哪里来：半径的影响几乎是高的四倍，因为它是平方出现的。

资料来源： Florian Cajori，A History of Mathematical Notations · Robert Hooke, MacTutor · Joseph Fourier, MacTutor · Earliest Uses of Symbols of Calculus, Jeff Miller。

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