Euler's Eyes
2026-10-13
伽罗瓦与凯莱：为非数之物而设的代数
1832 年 5 月 30 日凌晨，在巴黎，一个二十岁的年轻人通宵写作。埃瓦里斯特·伽罗瓦约好了黎明时分的一场决斗，他知道自己多半活不下来。他给朋友奥古斯特·舍瓦利耶写了一封长信，概述那些被科学院拒绝或遗失的想法，并请求把信拿给雅可比和高斯看，“不是请他们评判这些定理的真伪，而是评判它们的重要性”。在一份手稿的页边，他留下了一句后来很有名的话：
这个证明还有些地方要补全。我没有时间了。
— 埃瓦里斯特·伽罗瓦，手稿页边的批注（1832）
伽罗瓦在决斗中受伤，第二天去世。他的论文直到 1846 年才由约瑟夫·刘维尔发表，又过了几十年才被人理解。它们解答了一个困扰了几个世纪的问题：为什么二次、三次和四次方程都有用根式表示的求根公式，比如二次方程的求根公式，而五次方程一般没有？挪威人尼尔斯·亨里克·阿贝尔在二十六岁死于肺结核，他早在 1824 年就证明了五次方程不存在一般的求根公式。伽罗瓦解释了为什么，为此，他发明了一个新概念：群。
运动的代数
伽罗瓦的想法用图形比用方程更容易看清。用纸剪一个等边三角形，把顶点编号为 $1$、$2$、$3$，再在纸上画出它的轮廓。有多少种办法把三角形拿起来、再恰好放回轮廓上？六种：不动；转三分之一圈；转三分之二圈；或者绕三条对称轴之一把它翻过来。
本站早期的文章把这些运动叫作 $M_1,\dots,M_6$，并用 $M_i\star M_j$ 表示“先做 $M_j$，再做 $M_i$”。连续做两个运动，结果总是同一张清单里的第三个运动，这正是它们构成一个群的原因。所有的组合都能装进一张表，本站称之为群的乘法表：
$$\begin{array}{c|cccccc} \star & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5 & M_6\\ \hline M_1 & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5 & M_6\\ M_2 & M_2 & M_3 & M_1 & M_5 & M_6 & M_4\\ M_3 & M_3 & M_1 & M_2 & M_6 & M_4 & M_5\\ M_4 & M_4 & M_6 & M_5 & M_1 & M_3 & M_2\\ M_5 & M_5 & M_4 & M_6 & M_2 & M_1 & M_3\\ M_6 & M_6 & M_5 & M_4 & M_3 & M_2 & M_1 \end{array}$$（行表示最后做的运动，列表示先做的运动。）从符号学的角度看看发生了什么：一个物理动作——转动或翻转三角形——变成了一个符号，而组合运动变成了查表。不再需要想象三角形：表格替我们做了这件事。
顺序很重要
这张表显示了数的乘法从未显示过的东西。查 $M_2\star M_5$（$M_2$ 行，$M_5$ 列）：得 $M_6$。再查 $M_5\star M_2$：得 $M_4$。
$$M_2\star M_5=M_6\qquad\text{但}\qquad M_5\star M_2=M_4.$$因子的顺序改变了乘积。 先转再翻，和先翻再转，并不一样；用纸三角形试试看。在表中一眼就能看出来：它关于对角线并不对称。顺序无关紧要的群，为了纪念阿贝尔，被称为阿贝尔群。三角形的群不是阿贝尔群。
伽罗瓦意识到，方程的根也可以“运动”，在不破坏它们之间代数关系的前提下彼此交换，而这些交换构成一个群。方程有根式解，恰好当它的群能以一种特殊方式拆成若干阿贝尔的部分。对于五次方程，一般来说做不到。关于公式的问题，变成了关于表格的问题。
凯莱：把整个方程组装进一个字母
1750 年，瑞士人加布里埃尔·克拉默发表了一条解线性方程组的法则。它管用，但是用文字和下标一个方程一个方程地描述的，方程组一大就难以阅读。缺少的是一种把方程组作为整体来写的方式。
它在 1858 年出现：英国人阿瑟·凯莱发表了《矩阵论的研究报告》。想法是把系数集中在一个方阵里，把这个方阵当作一个整体来处理。方程组
$$\begin{cases}2x+y=5\\ x+3y=10\end{cases} \qquad\text{变成}\qquad \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}, \qquad\text{也就是}\qquad AX=B.$$它和 $ax=b$ 的相似并非巧合：这正是这种记号管用的原因。既然 $ax=b$ 的解是 $x=a^{-1}b$，书写就暗示 $AX=B$ 的解是 $X=A^{-1}B$，而凯莱说明了怎样赋予 $A^{-1}$ 意义。同时，记号也提醒我们类比在哪里失效：对矩阵来说，$AB$ 和 $BA$ 一般是不同的。好的记号既提示该做什么，也让人看到不能做什么。
群和矩阵讲的是同一个故事。在十九世纪，代数不再只是用未知数进行计算的技艺，而成了对任何服从规则的东西进行计算的技艺：运动、置换、数的方阵。让这一跃成为可能的，正是记号。写下 $M_i\star M_j$ 或 $AB$，数学家就能用操作 $x$ 和 $y$ 的那只手去操作新的对象，而不同之处（比如 $AB\ne BA$）也明明白白地写在那里。
练习：校正探测器的姿态
本站早期文章中的一道题：一个三角形的探测器依次经历运动 $M_5$、$M_4$、$M_3$、$M_6$、$M_6$（最先发生的是 $M_5$）。它现在处于什么位置？什么运动能把它转回来？
按照群的乘法表，从里往外算：
$$M_6\star\big(M_6\star(M_3\star(M_4\star M_5))\big)=M_6\star\big(M_6\star(M_3\star M_3)\big)=M_6\star(M_6\star M_2)=M_6\star M_5=M_2.$$探测器的状态相当于转了 $120^\circ$。要转回来，就找满足 $X\star M_2=M_1$ 的 $X$：表中给出 $X=M_3$，也就是转 $240^\circ$。没有人需要想象探测器在转动：查表就够了。
练习：用矩阵解方程组
对于 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$，有 $\det A=2\cdot3-1\cdot1=5$，且
$$A^{-1}=\frac15\begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix},\qquad X=A^{-1}B=\frac15\begin{pmatrix}3\cdot5-1\cdot10\\-1\cdot5+2\cdot10\end{pmatrix}=\frac15\begin{pmatrix}5\\15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.$$所以 $x=1$，$y=3$。检验：$2+3=5$，$1+9=10$。