本站早期的文章用一个玩笑引出这个话题。取两个相等的数 $a=b$，做一些看似无害的运算：

$$\begin{aligned} a&=b\\ a^2&=ab\\ a^2-b^2&=ab-b^2\\ (a+b)(a-b)&=b(a-b)\\ a+b&=b\\ 2b&=b\\ 2&=1. \end{aligned}$$

错在哪里？从第四行到第五行，我们把两边同时除以 $a-b$。但 $a=b$，所以 $a-b=0$，我们除以了零。书写掩盖了罪行：$a-b$ 看起来像随便一个数，只有记得第一行的人才会发现它是零。伪装起来的除以零，是数学家所说的不定式最简单的形式，也就是著名的 $\frac00$。

微积分留下的问题

牛顿和莱布尼茨的微积分，依赖于一些既是零又不是零的量。为了求 $x^2$ 的导数，莱布尼茨计算 $\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}=2x+dx$，然后把 $dx$“略去”，仿佛它是零。可是如果 $dx$ 是零，两行之前就不能用它去除。方法管用，却没有人能解释为什么。

1734 年，爱尔兰主教乔治·贝克莱发表了一篇猛烈的抨击文章《分析学家》，矛头指向那些嘲笑宗教信仰、自己却相信更奇怪东西的“不信神的数学家”：

这些流数是什么？是消逝的增量的速度。而这些消逝的增量又是什么？它们既不是有限量，也不是无穷小量，又不是零。难道我们不能把它们叫作消逝量的鬼魂吗？

— 乔治·贝克莱，《分析学家》（1734）

贝克莱在逻辑上是对的，在微积分上是错的。计算是管用的；缺少的是一种能说明它们做了什么的语言。

柯西：接近而不到达

这种语言来自法国。1821 年，奥古斯丁-路易·柯西出版了巴黎综合理工学院的《分析教程》，用文字定义了核心概念：

当同一个变量相继取得的值无限地接近一个固定的值，以至于最终与它相差得要多小就有多小时，这个固定的值就叫作所有其他值的极限。

— 奥古斯丁-路易·柯西，《分析教程》（1821）

秘密在于“要多小就有多小”。$dx$ 从不到达零：它保持任意地接近。几十年后，德国人卡尔·魏尔斯特拉斯用字母取代了这句话：对每一个误差范围 $\varepsilon>0$，无论多小，都存在一个距离 $\delta>0$ 来保证这种接近。这就是著名的“$\varepsilon$-$\delta$”定义，至今仍是大一学生的噩梦：

$$\begin{aligned}\lim_{x\to a}f(x)=L\iff{}&\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\\ &0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\end{aligned}$$

注意其中的符号 $\forall$（对所有）和 $\exists$（存在），我们将在讲逻辑的那篇文章里细看它们：推理的书写被用来为微积分服务。无穷小不再是一样东西，而成了一个承诺：你给我任何一个 $\varepsilon$，我就找到那个 $\delta$。

lim、箭头，以及它们隐藏的东西

记号也花了时间。1786 年，瑞士人西蒙·吕伊利耶把“极限”缩写为带句点的 lim.。lim 下面的小箭头 $x\to a$，直到二十世纪初才流行开来，主要得益于英国人 G. H. 哈代的《纯粹数学教程》（1908）。最终的写法紧凑而能动：

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4.$$

箭头说出了等号说不出的东西：$x$ 趋近于 $2$，却从不等于 $2$。所以我们可以约掉 $x-2$——它一路上都不为零——而不会犯下证明 $1=2$ 时的罪行。两次计算的区别，全在这个箭头上。

练习：借助箭头约分

计算 $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^3-3x^2}{x-3}$。把分子因式分解：$x^3-3x^2=x^2(x-3)$。由于 $x\to3$ 而从不等于 $3$，可以约分：

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to3}x^2=9.$$

直接代入会得到 $\frac00$，一个不定式。箭头允许了等号所禁止的约分。

练习：数 e 的一个亲戚

计算 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^{2x}$。用幂的运算法则改写：

$$\left(1+\frac1x\right)^{2x}=\left[\left(1+\frac1x\right)^{x}\right]^2\ \longrightarrow\ e^2.$$

书写让人看到藏在新极限里的那个熟悉的极限。

资料来源： Judith V. Grabiner，The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus（1981）· Florian Cajori，A History of Mathematical Notations · Augustin-Louis Cauchy, MacTutor · George Berkeley, MacTutor。

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