Euler's Eyes
2026-10-13
欧拉与函数：给规则起个名字
如果说有谁配得上“现代记号的建筑师”这个称号，那就是莱昂哈德·欧拉。他写下的数学篇幅比历史上任何人都多，而且他是为了让人读懂而写的：他的书被用来教学，他采用的约定也随着这些书传播开来。许多仿佛自古就有的符号，都经过了他的手。
- 1706威廉·琼斯用 $\pi$ 表示圆周与直径之比，几乎没有人注意到。
- 1727在一份手稿中，欧拉把对数为 $1$ 的那个数叫作 $e$。
- 1734欧拉写下 $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$：函数记号 $f(x)$ 诞生了。
- 1736在《力学》中，欧拉采用了琼斯的 $\pi$；随着《无穷分析引论》（1748），这个符号成了标准。
- 1755欧拉用 $\Sigma$ 表示求和。
- 1777欧拉用 $i$ 表示 $\sqrt{-1}$，这篇文章直到他去世后才发表。
这些符号的共同点是：每一个都把一段描述变成了一个名字。在欧拉之前，要谈论一个函数，就得描述它的规则（“由 $x$ 平方再加一所构成的量”）。有了 $f(x)$ 之后，规则有了一个简短的名字，而名字可以进入别的计算：$f(x+h)-f(x)$、$f(g(x))$、$f'(x)$。函数变成了一个对象，可以像过去操作数那样操作它。关于每个符号的更多细节，请看欧拉留给我们的语言。
函数：一个带空位的句子
“函数”（function）一词来自拉丁文 functio，源自动词 fungi：完成一项任务，履行一项职责。函数就是做某件事的东西。这个符号花了将近一百年才走到 $f(x)$：
| 年份 | 作者 | 函数的样子 |
|---|---|---|
| 1637 | 勒内·笛卡儿 | $x$ 与 $y$ 之间的一个方程，与一条曲线相联系 |
| 1667 | 詹姆斯·格雷戈里 | quantitas，由其他量得到的量 |
| 1671 | 艾萨克·牛顿 | 流量，流动的量 |
| 1673 | 莱布尼茨 | functio 这个词 |
| 1718 | 约翰·伯努利 | $\varphi x$，没有括号 |
| 1734 | 莱昂哈德·欧拉 | $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$，带括号 |
| 1837 | 彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷 | 现代定义：任何一种对每个 $x$ 对应唯一 $y$ 的规则 |
本站早期的文章提出过一种有趣的读函数的方式：把它读成一个带空位的句子。“加倍”这个函数就是
$$f=2\cdot(\quad),$$一条等着一个数的指令。把 $3$ 放进空位，得到 $f(3)=2\cdot3=6$；放进 $x$，得到 $f(x)=2x$。“减二”这个函数是 $(\quad)-2$，而“$(\quad)-1$ 乘以 $(\quad)-3$”描述的是一条在 $1$ 和 $3$ 处与横轴相交的抛物线。
这个想法不只是教学技巧。1891 年，我们将在逻辑一文中谈到的戈特洛布·弗雷格，在《函数与概念》一文中正是这样主张的：函数是一个不饱和的表达式，带有一个空位，比如 $2\cdot(\quad)^3+(\quad)$，只有空位被填上时它才成为一个数。欧拉的 $x$ 是标记这个空位的经济办法，而 $f(x)$ 的括号，简直就是画出了输入嵌进去的位置。
练习：填空位
函数 $g=(\quad)^2-1$ 接收一个数，把它平方再减 $1$。所以 $g(3)=3^2-1=8$，$g(-3)=8$，$g(0)=-1$。用欧拉的字母写出空位：$g(x)=x^2-1$。那么 $g(x+1)$ 呢？只要把整个 $x+1$ 放进空位：$g(x+1)=(x+1)^2-1=x^2+2x$。不想着空位的人常常写成 $x^2-1+1$，那就是另一个函数了。
练习：f(x+h) − f(x)
对于 $f(x)=x^2$，计算 $f(x+h)-f(x)$。把 $x+h$ 放进空位：$(x+h)^2-x^2=2xh+h^2$。除以 $h$：$2x+h$，当 $h$ 趋于零时，它趋于 $2x$。这就是 $x^2$ 的导数；这个计算之所以这么短，是因为欧拉的记号让人用四个符号就写出了“函数在邻近一点的值”。