算长方形的面积很容易：底乘高。三角形也不难：那个积的一半。麻烦从图形是弯曲的时候开始。用小正方形铺满一个圆，总会多出或缺少一块。两千年来，数学家们一直用同一个想法对付这个问题：用越来越小的直线图形去逼近曲线。变的是书写这个想法的方式。

阿基米德围住了圆

大约公元前 250 年，在叙拉古，阿基米德在一个圆里画了一个六边形，又在圆外画了一个六边形。圆周长介于两个六边形的周长之间。然后他把边数加倍：$12$、$24$、$48$、$96$。用 96 边形，他得到

$$3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17,$$

也就是 $3.1408\ldots<\pi<3.1428\ldots$ 这种方法被十七世纪的数学家称为穷竭法，它把曲线图形与直线图形之间的差“穷竭”掉。这是一种极限的思想，比“极限”这个词早了两千年。但阿基米德没有一种书写来表达它：每个问题都需要一个新的论证，用句子和图形写成，而通向无穷的那一步，则用双重反证法回避掉了。

给这个数一个名字

几个世纪里，圆周与直径之比都没有符号，只能用文字描述：“乘以直径就得到圆周的那个量”。1706 年，威尔士教师威廉·琼斯用了希腊字母 $\pi$，它是 periphéreia（周边、一圈）的首字母。欧拉在他的书里采用了这个字母，它便成了标准。有了名字，这个数的地位就变了：它不再是两段长度之间的关系，而成了一个可以相加、平方、放进公式（比如 $A=\pi r^2$）的对象。

开普勒与酒桶

1613 年，约翰内斯·开普勒第二次结婚，为婚礼买了酒。酒商量酒桶容积的方法是：把一根量杆从桶口插到对面的角落，读出被酒浸湿的长度。已经发现行星运动定律的开普勒觉得这个方法可疑：形状不同的酒桶可能对角线相同而容积不同。1615 年，他出版了《酒桶的新立体几何》（Nova stereometria doliorum vinariorum），把酒桶切成极薄的薄片，再把它们的体积加起来。

二十年后，意大利人博纳文图拉·卡瓦列里用不可分量把这个想法系统化：平面图形由无穷多条线组成，立体由无穷多个面组成。这个方法强大而危险。把无穷多个厚度为零的东西加起来，得到的是什么？

变成积分的和

答案随莱布尼茨而来，而它首先是一个书写上的答案。把曲线 $y=f(x)$ 下方、$a$ 与 $b$ 之间的区域切成 $n$ 个宽为 $\Delta x$ 的长方形。近似面积是

$$A\approx f(x_1)\,\Delta x+f(x_2)\,\Delta x+\cdots+f(x_n)\,\Delta x=\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

长方形越细，近似越好。取极限，当宽度趋于零时，和就变成

$$A=\int_a^b f(x)\,dx.$$

把两个公式并排看。结构是一样的：一个求和号，一个高度 $f$，一个宽度。变的是字母。希腊字母 $\Sigma$，即“和”（sum）的 S，变成了拉丁的 $\int$，也是一个 S，只是拉长了。希腊字母 $\Delta$，即“差”（difference）的 D，变成了拉丁的 $d$。希腊字母标记有限，拉丁字母标记无穷小，而从一个世界到另一个世界的过渡，就画在字母表的更换之中。本站早期的文章称之为 mirabilis abbreviatio：积分的写法记得它从哪里来。看着 $\int f(x)\,dx$ 的人，仍然能看到高为 $f(x)$、宽为 $dx$ 的长方形。

这一过渡的严格性直到十九世纪才到来。奥古斯丁·柯西在 1823 年、伯恩哈德·黎曼在 1854 年把积分定义为这些和的极限，这些和今天叫作黎曼和。莱布尼茨 1675 年的记号无需改变：在理论知道如何为它辩护之前，它就已经有了正确的形状。

练习：用积分求三角形面积

本站早期的文章问道：三角形的面积为什么是 $\frac{B\cdot H}2$？把三角形放成一个顶点在原点、底边 $B$ 在 $x$ 轴上、对顶点在 $(B,H)$。斜边是直线 $y=\frac HB x$。于是

$$A=\int_0^B \frac HB\,x\,dx=\frac HB\cdot\frac{B^2}2=\frac{B\cdot H}2.$$

背下来的公式变成了一次计算的结果。

练习：手算一个黎曼和

用 $4$ 个宽为 $\frac14$ 的长方形近似 $\int_0^1 x^2\,dx$，每个长方形取右端点处的高：

$$\frac14\left[\left(\tfrac14\right)^2+\left(\tfrac24\right)^2+\left(\tfrac34\right)^2+\left(\tfrac44\right)^2\right]=\frac14\cdot\frac{1+4+9+16}{16}=\frac{30}{64}\approx0.469.$$

精确值是 $\frac13\approx0.333$。长方形越细，和就越接近 $\frac13$：用 $100$ 个长方形时约为 $0.338$。

资料来源： 阿基米德，《圆的度量》· Florian Cajori，A History of Mathematical Notations · Johannes Kepler, MacTutor · Bonaventura Cavalieri, MacTutor。

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