今天，对很多学生来说，对数是个吓人的东西：一个奇怪的词，一个凭空冒出来的 $\log$，还有一堆要背的规则。在十七世纪，情况恰恰相反。它是欧洲的计算器，为天文学家、航海家和会计省下了好几个月的工作。本站早期的文章说，对数是 mirabilis abbreviatio（奇妙的缩写）最纯粹的例子。它的发明者也同意：他那本书的书名，就是以“奇妙的”一词开头的。

两行数字

这个想法早已藏在任何人都能写出的两行数字里：

$$\begin{array}{c|cccccccccc} 2\text{ 的幂} & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512\\ \hline \text{指数} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array}$$

从上面一行挑两个数，比如 $8$ 和 $64$。看它们下面的数：$3$ 和 $6$。相加：$3+6=9$。再回到上面，看 $9$ 那一栏：$512$。果然 $8\times64=512$。上面的乘法变成了下面的加法。 德国人米夏埃尔·施蒂费尔在 1544 年的《整数算术》中就注意到了这一点。除法变成减法，开平方变成除以 $2$。

问题在于，施蒂费尔的表里到处是空隙：$8$ 和 $16$ 之间、$64$ 和 $128$ 之间，什么都没有。要让这个技巧对任何数都有效，比如 $3.1416\times2.7183$，就得用细密得多的行把表填满。

二十年的计算

这正是梅奇斯顿领主约翰·纳皮尔所做的事。他是苏格兰贵族，也写神学著作，还设计战争机器。大约二十年间，他用手算出一张表，步长小到几乎任何数都能在表中找到。1614 年，他用拉丁文发表了成果：Mirifici logarithmorum canonis descriptio，即《奇妙的对数表的描述》。Canon 源自希腊语 kanṓn（直尺），当时用来称呼参考用的数表。

“对数”（logarithm）这个词是他自己造的，由两个希腊词组成：lógos，这里的意思是比、比例；arithmós，数。对数就是“比的数”：它数的是一个固定的比被反复使用了多少次才得到某个值。在 $8=2\cdot2\cdot2$ 中，比 $2$ 用了三次，所以以 $2$ 为底 $8$ 的对数是 $3$。

对数缩短了劳动，使天文学家的寿命延长了一倍。

— 一句据说出自拉普拉斯的话

成功是立竿见影的。1615 年，英国教授亨利·布里格斯专程到苏格兰拜访纳皮尔，两人商定改用以 $10$ 为底，更适合十进制。布里格斯在 1617 年和 1624 年出版了他的表。计算行星轨道的约翰内斯·开普勒热情地采用了对数，并在 1624 年出版了自己的表。大约在 1622 年，发明 $\times$ 号的威廉·奥特雷德把两把对数刻度并排放在一起，发明了计算尺，工程师们一直用到 1970 年代。

从 logarithmus 到 log

和 radix quadrati 一样，对数也是从一句话开始的。下面的步骤是示意性的，是本站早期文章为了展示缩写的过程而重构的：

这句话如何变成 log₂ 8 = 3（点击继续）

  1. logarithmus arithmorum 8 aequalis 3, basis 2：“数 8 的对数等于 3，底为 2”。
  2. log. arith. 8 aeq. 3, bas. 2：重复的词缩短了。
  3. Log. 8 = 3：开普勒在 1624 年的表中已经写出缩写 Log.。底是不言而喻的，因为每张表都有自己的底。
  4. $\log_2 8=3$：底降为 $\log$ 脚下的一个小下标。原先藏在表名里的信息，回到了书写之中。

从符号学的角度看，最后一步最重要。底写出来以后，“$2$ 的 $3$ 次方得 $8$”和“以 $2$ 为底 $8$ 的对数是 $3$”这两句话就明显地连在一起了：

$$2^3=8\iff \log_2 8=3.$$

同样的三个数，同样的关系，从两个方向读。$\log_b$ 是“取 $b$ 的幂”的逆运算：$\log_b\left(b^n\right)=n$。本站早期的文章把这个想法推到极致，把底直接写成幂的形式，比如 $\log_{2^6}64$，好让答案 $6$ 一眼就能看见。这是一个教学技巧，不是正式的记号，但它很好地说明了我们对能动的记号的期待：答案就画在问题里。

书写交出来的规则

有了 $\log$ 记号，纳皮尔和布里格斯在表中使用的性质，每一条都能写成一行：

$$\log_b(A\cdot B)=\log_b A+\log_b B,\qquad \log_b\frac AB=\log_b A-\log_b B,\qquad \log_b A^n=n\log_b A.$$

这些规则不需要死记，因为它们直接来自施蒂费尔的两行数字。以 $2$ 为底：$\log_2(4\cdot16)=\log_2 4+\log_2 16=2+4=6$，而 $4\cdot16=64=2^6$ 确实如此。幂相乘就是指数相加，而对数就是指数。记号只是把这一点写了出来。

比计算器活得更久的书写

自 1970 年代以来，已经没有人用对数表做乘法了。但 $\log$ 并没有消失，这一点很说明问题。这个记号之所以仍然能动，是因为它所描画的关系依然有用：地震的里氏震级、化学中的 pH 值、声音的分贝，都是对数刻度，加 $1$ 就意味着乘以 $10$。1748 年，欧拉证明了最自然的对数是以他称为 $e$ 的数为底的，而 $\ln$ 进入莱布尼茨的微积分，仿佛它一直就在那里。计算器死了，奇妙的缩写留了下来。

练习：像纳皮尔那样做乘法

用 $2$ 的幂的表计算 $16\times32$。$16$ 下面是 $4$，$32$ 下面是 $5$。相加：$4+5=9$。$9$ 那一栏上面是 $512$。所以 $16\times32=512$。要用 $512$ 除以 $8$：$9-3=6$，$6$ 上面是 $64$。

练习：让答案一目了然

计算 $\log_3(81\cdot27)$。把每个数写成底的幂：$81=3^4$，$27=3^3$。于是

$$\log_3(81\cdot27)=\log_3 3^4+\log_3 3^3=4+3=7,$$

而 $81\cdot27=2187=3^7$ 确实如此。这就是本站早期文章的技巧：底以幂的形式出现时，对数不用计算就能读出来。

资料来源： Florian Cajori，A History of Mathematical Notations（1928–1929）· John Napier, MacTutor · Henry Briggs, MacTutor · 关于数 $e$ 与复利，见欧拉一章。

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