Euler's Eyes
2026-10-13
+、−、× 和 =：符号小史
数学里最简单的符号，也是最年轻的。欧几里得从没写过 $+$，花拉子米从没写过 $=$。已经使用字母的韦达，仍然把 aequatur（等于）完整地写出来。孩子在一年级学到的运算符号，几乎全都诞生于十五世纪末到十七世纪末的欧洲，前后大约两百年。
- 1489约翰内斯·维德曼在莱比锡的一本商业算术书中印出 $+$ 和 $-$。
- 1525克里斯托夫·鲁道夫在他的代数书《未知数》（Coss）中用 $\surd$ 表示平方根。
- 1557罗伯特·雷科德在《砺智石》中发明了 $=$。
- 1591弗朗索瓦·韦达用字母表示已知量和未知量。
- 1631威廉·奥特雷德用 $\times$ 表示乘法；同年，托马斯·哈里奥特的遗著出版，书中有 $<$ 和 $>$。
- 1637勒内·笛卡儿把幂写成指数：$x^3$、$x^4$。
- 1659约翰·拉恩用 $\div$ 表示除法。
- 1698莱布尼茨提议用点 $\cdot$ 表示乘法，以免把 $\times$ 和字母 $x$ 弄混。
加号和减号：仓库里的记号
$+$ 和 $-$ 最早出现在印刷品中是在 1489 年，约翰内斯·维德曼为商人写的一本算术手册里。在那里，它们还不完全表示运算，而是标记多出和短缺。一箱货物比应有的重量重，就标 $+$；轻了，就标 $-$。最被接受的假说是：$+$ 是拉丁文 et（“和”）的缩写，写得快了，就成了一个十字。
在此之前，意大利人写 $\bar{p}$（代表 plus）和 $\bar{m}$（代表 minus）。这种带横线的字母和德国的符号并存了一百多年。
等号：一对孪生的平行线
罗伯特·雷科德是伦敦的一位医生，他用英文写数学书，而那个时代几乎一切都用拉丁文写。1557 年，在《砺智石》（The Whetstone of Witte）一书中，他厌倦了在每一行都写 is equalle to（等于），于是解释道：
为了避免一遍遍重复“等于”这几个字，我将像在工作中常做的那样，放上一对平行线，也就是一样长的孪生线，像这样：═══，因为没有任何两样东西能比它们更相等了。
— 罗伯特·雷科德，《砺智石》（1557）
雷科德的理由是一个符号学的理由，而且是个好理由：这个符号像它所代表的东西。两条完全一样的线，画出了“相等”这个概念本身。紧接着，他用这个新符号写下了第一个方程：
雷科德的符号花了很长时间才胜出。八十年后，笛卡儿仍在用另一个符号；在欧洲大陆，$=$ 有时还被用来表示差或平行。直到 1700 年前后，莱布尼茨和他的追随者采用了它，它才成为标准。
乘、除、大于和小于
1631 年，两本英文书补全了这幅图景。牧师威廉·奥特雷德在《数学之钥》（Clavis mathematicae）中用十字 $\times$ 表示乘法。同一年，托马斯·哈里奥特去世十年后，他的《分析术实践》（Artis analyticae praxis）出版，书中有 $<$ 和 $>$ 两个符号。哈里奥特当过天文学家、制图师和航海家，还在英国前往北美弗吉尼亚的远征队里待过一年。
哈里奥特的符号也是像似的：开口朝向较大的数。在 $3<5$ 中，宽的一边对着 $5$。这是一个不用死记就能读懂的形状。
$\div$ 叫作除号（obelus），1659 年瑞士人约翰·拉恩用它表示除法。在此之前，它被用来标记古代手稿中可疑的段落。今天，除了学校和计算器，几乎没有人用它：数学家更喜欢分数线，正如我们将在第 2 章看到的，分数线更能显示式子的结构。
× 的麻烦
奥特雷德的十字有一个缺陷，直到笛卡儿的代数传开后才显现出来：它和字母 $x$ 一模一样。1698 年，莱布尼茨写信给约翰·伯努利：
我不喜欢用 × 作乘号，因为它很容易和 x 混淆。我常常只是在两个量之间加一个点，把它们连起来。
— 莱布尼茨致约翰·伯努利的信（1698）
莱布尼茨的点在数学家中流行开来，今天三种形式并存：学校里写 $3\times4$，书里写 $3\cdot4$，字母之间则什么也不写，只是并列：$ab$、$2x$。每种选择都有它的道理，也都有各自的陷阱。
这些符号没有一个是由委员会发明的。每一个都是某个人为了实际问题提出的，在一本书里使用，被读者抄录，被对手质疑，有时被遗忘。只有当整个共同体学会用同样的方式去读它时，一个符号才成为“那个”符号。
练习：解雷科德的方程
第一个带等号的方程是 $14x+15=71$。两边同时减去 $15$：$14x=56$。再除以 $14$：$x=4$。检验：$14\cdot4+15=56+15=71$。
练习：莱布尼茨的问题
把“$2x \times 3$”念出来。手写时很容易把它和 $2x\,x\,3$，也就是 $2x^2\cdot3$ 混淆。用点写，$2x\cdot3=6x$ 就没有歧义了。如果什么符号都不写，$2x3$ 也不行，因为它看起来像一个数，或者像下标。所以我们把数写在前面：$6x$。
资料来源： Florian Cajori，A History of Mathematical Notations（1928–1929）· Earliest Uses of Symbols of Operation, Jeff Miller · Robert Recorde, MacTutor。