Euler's Eyes
2026-10-13
从文字到字母：代数学会了书写
大约公元 820 年，在巴格达，穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米在“智慧宫”工作，那是哈里发马蒙的大图书馆。他在那里写了一本书名很长的书：《还原与对消计算概要》。“还原”在阿拉伯语里是 al-jabr，“代数”（algebra）一词就从这里来。
整本书里没有一个符号。没有 $x$，没有 $+$，也没有 $=$。连数都是用文字写出来的。其中最有名的一个问题是这样的：
一个平方加上它的十个根，等于三十九迪拉姆。取根数的一半，是五；让它自乘，得二十五；加到三十九上，得六十四。取它的根，是八，减去根数的一半，也就是五。剩下三：这就是所求平方的根。
— 花拉子米，约 820 年（意译）
今天我们会把这个问题写成 $x^2+10x=39$，答案写成 $x=3$。花拉子米的做法正是我们所说的配方法，而他用一个图形来论证：一个边长为 $x$ 的正方形，靠上两个 $5\times x$ 的长方形，再补上一个 $5\times5$ 的小正方形，就拼成一个边长为 $x+5$、面积为 $39+25=64$ 的大正方形。
这种写法叫作文字代数：一切都用句子表达。它行得通，但有代价。每个问题都被讲成一个带具体数字的小故事，读者得自己发现同样的做法也适用于别的数。一般的规则藏在例子里面。
缩写：简写代数
更早的时候，三世纪的亚历山大城，丢番图朝另一个方向迈出了一步。在他的《算术》里，他用一个形似 $\varsigma$ 的字母表示未知数，用 $\Delta^{\Upsilon}$（来自 dýnamis，幂）表示它的平方，用 $K^{\Upsilon}$（来自 kýbos，立方）表示它的立方。表示减法时，他用一个像倒置箭头的符号。像 $x^3-2x^2+10x-1$ 这样的式子，大致写成：
$$K^{\Upsilon}\,\overline{\alpha}\;\varsigma\,\overline{\iota}\;\pitchfork\;\Delta^{\Upsilon}\,\overline{\beta}\;M\,\overline{\alpha}$$（希腊人用上面加横线的字母写数：$\overline{\alpha}=1$，$\overline{\beta}=2$，$\overline{\iota}=10$；$M$ 标示个位单位。）这种介于中间的书写，有缩写，却还没有完整的符号语法，叫作简写代数。丢番图只有一个表示未知数的名字，所以每个含两个未知数的问题，都需要一个技巧把它变成只含一个未知数的问题。
韦达：用字母表示未知的量，也表示已知的量
伟大的转折发生在 1591 年的法国。弗朗索瓦·韦达是律师和国王的顾问，闲暇时为国王破译西班牙人的密信。他出版了《分析术引论》。他的想法看似很小：用元音字母（$A$、$E$……）表示未知量，用辅音字母（$B$、$C$、$D$……）表示已知但任意的量。
后一半才是革命性的。花拉子米解的是“一个平方加十个根等于三十九”。韦达则可以写出类似“$A$ 的平方加 $B$ 乘 $A$ 等于平面 $Z$”这样的式子，一次解出这一类的所有方程。字母 $B$ 不是一个等待求出的未知数，而是任意一个数，答案就用它来表示。第一次，做法本身成了一个可以写下来、可以观察、可以变换的对象。韦达把这称为 logistica speciosa，即“类的计算”（用形式计算），与 logistica numerosa（用数计算）相对。
笛卡儿：今天的字母表
1637 年，勒内·笛卡儿把《几何学》作为《方法论》的附录出版。我们至今仍在使用的约定就出现在那里：用字母表末尾的字母（$x$、$y$、$z$）表示未知数，用开头的字母（$a$、$b$、$c$）表示已知量，还用数字指数表示幂：$x^3$、$x^4$。有趣的是，他仍然喜欢写 $xx$ 而不写 $x^2$，反正也不多占地方；表示相等时，他用的是自己的一个符号，类似 $\propto$，而不是 $=$。
这样一来，表达式 $ax^2+bx+c=0$ 不再是关于特定数的一句话，而代表了一整族方程。你可以因式分解、配方，得到一次解出所有这类方程的公式：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$把这一行和花拉子米的那一页比一比。内容是同一个步骤；书写却不同了，随之而来的是以前根本无法提出的问题，比如“$b^2-4ac$ 是负数时会怎样？”
四种书写，一个方程
| 时代 | 写法 | 类型 |
|---|---|---|
| 花拉子米，约 820 年 | “一个平方加十个根等于三十九” | 文字代数 |
| 丢番图，3 世纪 | $\Delta^{\Upsilon}\,\overline{\alpha}\;\varsigma\,\overline{\iota}$ … $M\,\overline{\lambda\theta}$ | 简写代数 |
| 韦达，1591 年 | $A$ 的平方 $+$ $B$ 乘 $A$ 等于平面 $Z$ | 符号代数，夹着文字 |
| 笛卡儿，1637 年 | $xx+10x\;\propto\;39$（笛卡儿的等号是另一个符号） | 符号代数 |
这个过程并不是一条笔直的凯旋之路。这些形式共存了几个世纪，许多高手也用文字解出了难题。但表中的每一步，都把原本留在计算者头脑里的东西变得可见了：先是未知数，然后是一般的已知量，最后是方程的整个结构。
练习：像花拉子米那样解
“一个平方加六个根等于十六。”根数的一半：$3$。自乘：$9$。加到十六上：$25$。开方：$5$。减去根数的一半：$5-3=2$。所求的根是 $2$。
用符号写：$x^2+6x=16 \iff x^2+6x+9=25 \iff (x+3)^2=25$。因为 $x+3$ 是一段长度，所以 $x+3=5$，$x=2$。符号代数还揭示了第二个解 $x+3=-5$，即 $x=-8$，花拉子米没有考虑它，因为对他来说，根就是边。
练习：从句子到方程
“一个量加上它的一半，得五。”把这个量叫作 $x$：
$$x+\frac{x}{2}=5 \iff \frac{3x}{2}=5 \iff x=\frac{10}{3}.$$检验：$\frac{10}{3}+\frac{5}{3}=\frac{15}{3}=5$。我们会在第 2 章回到这个方程，一个符号一个符号地读它。