Uma das relações mais importantes da matemática moderna são as relações de equivalências. Para isto propriedades importantes devem ser mostradas. Propriedades de Relações Iniciamos a seção com as propriedades de uma relação $\mathcal{R}$ sobre um conjunto $A$. Como ponto de partida segue a definição: Definição Seja $\mathcal{R}$ uma relação sobre um conjunto $A.$ Então dizemos que: $\mathcal{R}$ é reflexiva se a condição: $(\forall x \in A)(x\mathcal{R} x)$ for verdadeira se para todo $x \in A, (x, x) \in R.$ $\mathcal{R}$ é simétrica se a condição: $(\forall x,y \in A)(x\mathcal{R} y \longrightarrow y\mathcal{R} x)$ for verdadeira. se para todo $x, y \in A,$ se $(x, y) \in \mathcal{R} ,$ então $(y, x) \in \mathcal{R} .$ $\mathcal{R}$ é transitiva se a condição: $(\forall x, y, z \in A)(x\mathcal{R} y \wedge y\mathcal{R} z \longrightarrow x\mathcal{R} z)$ for verdadeira se para todo $x, y, z \in A,$ se $(x, y) \in \mathcal{R} $ e $(y, z) \in \mathcal{R},$ então $(x, z) \in \mathcal{R}.$ $\mathcal{R}$ é anti-simétrica se a condição: $(\forall x, y \in A)(x\mathcal{R} y \wedge y\mathcal{R} x \longrightarrow x = y)$ for verdadeira se para todo $x, y \in A,$ se $(x, y) \in \mathcal{R}$ e $(y, x) ∈ \mathcal{R},$ então $x = y.$ Exemplos A seguir apresentamos alguns exemplos das propriedades de relações: