现代数学中最重要的关系之一是等价关系。为此必须显示重要的属性。

关系属性

我们从集合 $A$ 上关系 $\mathcal{R}$ 的属性开始本节。作为起点，定义如下：

定义 设 $\mathcal{R}$ 是集合 $A.$ 上的关系，那么我们说：

  • $\mathcal{R}$ 是自反的，如果条件：
    • $(\forall x \in A)(x\mathcal{R} x)$ 为真
    • 如果对于所有 $x \in A, (x, x) \in R.$ 收藏
  • 如果满足以下条件，$\mathcal{R}$ 是对称的：
    • $(\forall x,y \in A)(x\mathcal{R} y \longrightarrow y\mathcal{R} x)$ 为真。
    • 如果对于所有 $x, y \in A,$ 如果 $(x, y) \in \mathcal{R} ,$ 则 $(y, x) \in \mathcal{R} .$ 收藏
  • $\mathcal{R}$ 是传递性的，如果条件：
    • $(\forall x, y, z \in A)(x\mathcal{R} y \wedge y\mathcal{R} z \longrightarrow x\mathcal{R} z)$ 为真
    • 如果对于所有 $x, y, z \in A,$ 如果 $(x, y) \in \mathcal{R} $ 和 $(y, z) \in \mathcal{R},$ 那么 $(x, z) \in \mathcal{R}.$ 收藏
  • $\mathcal{R}$ 是反对称的，如果条件：
    • $(\forall x, y \in A)(x\mathcal{R} y \wedge y\mathcal{R} x \longrightarrow x = y)$ 为真
    • 如果对于所有 $x, y \in A,$ 如果 $(x, y) \in \mathcal{R}$ 和 $(y, x) ∈ \mathcal{R},$ 那么 $x = y.$ 收藏

示例

下面我们展示一些关系属性的示例：

示例 1。 令 $A$ 为任意集合。关于$A$的关系：

$$\Delta = \\{(x,x); x\in A\\}$$

假设这个关系是自反的、对称的和传递的。在这种情况下，我们将其称为恒等关系或对角关系。

收藏

示例 2。 令 $A$ 为任意集合。 $A\times A$ 与 $A$ 之间的关系。

假设这个关系是自反的、对称的和传递的。在这种情况下，它不是反对称的。

收藏

示例 3。 让 $A=\\{a,b,c\\}$。关系：

  • $\mathcal{R}_1 = \\{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)\\}$ 假设这个关系是自反的、反对称的和传递的。在这种情况下，它是不对称的。
  • $\mathcal{R}_2 = \\{(a,a), (b,b), (a,b), (b,a)\\}$ 假设此关系是对称且传递的。在这种情况下，它既不是自反的，也不是反对称的。
  • $\mathcal{R}_3 = \\{(a,a), (b,b), (a,b), (b,a), (b,c)\\}$ 在这种情况下，它既不是对称的，也不是传递的，也不是自反的，也不是反对称的。
收藏

示例 4。 让 $A=\mathbb{N}$。关系：

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x \text{ é um divisor de } y\\}$$

在这种情况下，它是一种自反、反对称和传递关系。然而，它并不对称。

收藏

示例 5。 让 $A=\mathbb{Z}$。关系：

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x-y \text{ é múltiplo de } 3\\}$$

在这种情况下，它是一种自反、对称和传递关系。然而，它不是反对称的。

收藏

示例 6。 令 $A$ 为集合族。对于$X, Y \in A,$，关系“$X$包含在$Y$中”是自反、反对称和传递关系。然而，它并不对称。

收藏

示例 7。 令 $A$ 为命题集。对于 $p, q \in A,$，关系“If $p$ then $q$”是自反和传递关系。它既不是对称的，也不是反对称的。

收藏

这是关系属性的总结。等待接下来的帖子。